- •Задания и методические указания по выполнению контрольной работы Иваново 2009
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Содержание дисциплины
- •Раздел 1 Качество продукции
- •Раздел 2 Основы метрологии
- •Раздел 7 Научная база стандартизации
- •Раздел 8 Основы оценки соответствия
- •Раздел 9 Декларирование соответствия
- •Раздел 10 Аккредитация
- •2. Общие указания по выполнению контрольной работы
- •3. Исходные теоретические предпосылки для решения задач
- •3.1 Качественная характеристика измеряемых величин
- •3.2 Алгоритм обработки результатов прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями
- •3.3 Классификация погрешностей в зависимости от формы выражения.
- •3.4 Классы точности средств измерений
- •3.5 Выбор количества измерений
- •3.6 Проверка нормальности закона распределения вероятности результатов и погрешностей измерений
- •3.6.1 Функции законов распределения
- •3.6.2 Подбор функции (закона) распределения случайной величины
- •3.6.3 Применение критерия согласия Пирсона
- •3.6.4 Точечная оценка параметров некоторых законов распределения случайных величин
- •3.6.5 Интегральная оценка математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при различных распределениях случайной величины
- •3.7 Экспертный метод оценки объектов
- •4. Теоретические задания
- •4.1. Раздел «Метрология»
- •4.2 Раздел «Стандартизация»
- •4.3 Раздел «Сертификация»
- •5. Практические задания
- •6. Примеры выполнения практических заданий Примеры решения типовых задач
- •Основная литература
- •Сергеев а.Г., Крохин в.В. Метрология: Учеб. Пособие для вузов. – м.: Логос, 2001. – 408 с.: ил. Isbn 5-94010-039-2. Дополнительная литература
- •Значения tp и Рд при распределении Стьюдента
- •Значения критерия Диксона
- •Значения критерия Романовского
- •Квантили , удовлетворяющие условию
- •Значения функции Лапласа ф(х) Теоретическое задание. История развития метрологии.
- •Из истории Российской метрологии
- •Практическое задание.
- •Решение.
- •Решение.
3.6.3 Применение критерия согласия Пирсона
При использовании этого критерия замеры расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерения (вероятность Р есть вероятность того, что за счет чисто случайных причин мере расхождения теоретического и эмпирического распределения должна быть не меньше, чем полученное по результатам измерений) принимается сумма квадратов отклонения частостей mi/n от теоретической вероятности Рi попадания отдельного значения результата наблюдения в i-й интервал, причем каждое слагаемое берется с коэффициентом n/Pi:
, (49)
Если расхождение случайно, то подчиняется - распределению.
Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины Х, рассматриваемой как случайная. Задавшись значением интегральной функции распределения К. Пирсона F( ), можно проверить больше или меньше ее аргумента вычисленное значение . Если меньше, то с выбранной вероятностью (Рi) можно считать случайным числом, подчиняющимся - распределению К. Пирсона, т.е. признать случайным расхождение между эмпирической (опытной) и теоретической плотностью распределения вероятности результата измерения.
Если же окажется, что больше чем , то с той же вероятностью придется признать, что не подчиняется распределению К. Пирсона, т.е. гипотеза о соответствии эмпирического закона распределения вероятности теоретическому не подтверждается.
При проверке нормальности закона распределения вероятности результата измерения применение критерия согласия дает хорошие результаты только, если n>40…50. При меньшем числе наблюдений применяется так называемый составной критерий.
Результаты наблюдений случайной величины х, полученные в специально поставленном эксперименте, или на основании сбора статистических данных, представляют в виде вариационного ряда – последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего х1 <х2 <….< хn. При этом наблюдения случайной величины х должны проводиться в практически одинаковых условиях, а исследуемая совокупность должна быть однородной.
Целесообразен следующий порядок работы:
1. Найти точечные оценки неизвестных параметров принятого распределения.
2. Подсчитать теоретическую вероятность pi показания случайной величины в i-ом интервале по формуле
, |
(50) |
где и – границы i-ого интервала; – теоретическая функция распределения.
3. Вычислить теоретическую частоту (число наблюдений) для каждого интервала по формуле
, |
(51) |
где – общее число наблюдений (объем однородной выборки); – теоретическая вероятность i-ого интервала.
4. Условия применения критерия Пирсона требуют, чтобы ожидаемое (теоретическое) число наблюдений для каждого интервала было не менее 5. Если в каком-либо интервале окажется , то его нужно объединить с соседним интервалом (или интервалами) таким образом, чтобы суммарная теоретическая частота была не менее 5.
5. Вычислить критерий Пирсона:
, |
(52) |
где и – соответственно фактическое и ожидаемое числа значений случайной величины, попадающих в i-ый интервал; k – число интервалов, полученное после объединения по пункту 4.
6. Подсчитать число степеней свободы:
, |
(53) |
где k – число интервалов, для которых ; r – число параметров распределения F(x), для которых точечные оценки были найдены по данным выборки в п.1.
7. Сравнить полученное значение с критическими значениями квантилей распределения Пирсона, соответствующими полученному числу степеней свободы f (смотри табл. 4 приложения 3).
Пусть < < , где и – квантили из табл. 4 приложения 3, которые соответствуют вероятностям q1 и q2. Тогда с вероятностью q[q1, q2] гипотеза о предполагаемом распределении с интегральной функцией F(x) не согласуется с истинным распределением. Если числа q1 и q2 малы, то выбранный закон не противоречит имеющимся данным с большой надежностью 1–q[1–q1, 1–q2]. При больших (и q велико) вероятность, что гипотеза верна, то есть 1–q, близка к нулю и требуется дальнейшее исследование заданной выборки.