3.6.2 Подбор функции (закона) распределения случайной величины

Для изучения закона распределения случайной величины Х (экспериментальные данные) полезно построить гистограмму относительных частот. Наглядность отображения гистограммой закона распределения вероятности зависит от соблюдения следующих правил при ее построении:

1. интервалы х, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать, по возможности, одинаковыми;

2. число интервалов k устанавливать в соответствии со следующими рекомендациями:

   Число измерений (n)	Рекомендуемое число интервалов (k)
   40-100	7-9
   100-200	15-18
   200	18-20
   400	25-30
   1000	35-40

3. масштаб выбирать таким, чтобы высота гистограммы относилась к основанию примерно, как 5 к 8.

Вся область изменения экспериментальных данных разбивается на интервалы, оптимальная длина которых

или ,

(46)

а начальная точка отсчета

.

(47)

Заметим, что в большинстве случаев все значения Х должны быть положительны (распределение Вейбулла, логарифмически нормальное распределение и др.), поэтому в таких случаях, если х₀<0, принимают х₀=0.

На практике эти формулы используют не всегда, так как длина интервала определяется естественно, в зависимости от точности прибора, с помощью которого производится измерение величины Х. Далее находят границы интервалов и подсчитывают количество значений x_i, попавших в каждый интервал, которое принимается за частоту n_i попадания величины Х в заданный интервал. Если при этом граница интервала совпадает с одним из значений x_i, то к частотам для каждого интервала подсчитывают относительную - частоту

. (48)

Г

Рис. 3.6.2.1 Гистограмма относительных частот

истограмма относительных частот (рис. 3.6.2.1) – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями h_x и высоты _i/h_x. Число _i/h_x называют плотностью относительных частот. Отметим, что площадь гистограммы (всех построенных прямоугольников) равна 1, поскольку в нее входят все 100% наблюдений.

С оединив отрезками прямых середины верхних сторон прямо -угольников, получим ломаную линию, называемую полигоном. Если бы была возможность увеличивать число измерений n, то в пределе при n и 0 ( - цена деления шкалы прибора) полигон перешел бы в кривую плотности распределения f(x). Нормальное распределение имеет симметричную кривую плотности вероятности, поэтому и гистограмма должна представлять собой симметричную фигуру.

Если максимум на гистограмме сдвинут к нулю, то следует предполагать логарифмически нормальное распределение или распределение Вейбулла. По виду гистограммы эти законы трудно различить; можно лишь обратить внимание на то, что гистограмма при логарифмически нормальном распределении плотнее примыкает к оси ординат.

В

Рис. 3.6.2.2 Логарифмически нормальное

распределение

озможно, что случайная величина, гистограмма которой изображена на рис. 3.6.2.2, распределена по логарифмически нормальному закону, а на рис. 3.6.2.3 – по закону Вейбулла.

Д

Рис. 3.6.2.3 Распределение по закону Вейбулла

ля идентификации неизвест ного закона распределения возможных значений измеряемой величины используют так называемые критерии согласия. Известны несколько критериев согласия. В зависимости от применяемых критериев согласия закон распределения представляется в виде плотности распределения, функции распреде ления или отношений центральных моментов случайной величины.

Наиболее часто на практике используется критерий согласия Пирсона (хи-квадрат, ), который можно применять для проверки допущения о любом распределении, даже не зная точного значения параметров распределения. Основным недостатком этого критерия является нечувствительность к обнаружению подходящей статистической модели при малом числе наблюдений.