3.6.3 Применение критерия согласия Пирсона

При использовании этого критерия замеры расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения вероятности результата измерения (вероятность Р есть вероятность того, что за счет чисто случайных причин мере расхождения теоретического и эмпирического распределения должна быть не меньше, чем полученное по результатам измерений) принимается сумма квадратов отклонения частостей m_i/n от теоретической вероятности Р_i попадания отдельного значения результата наблюдения в i-й интервал, причем каждое слагаемое берется с коэффициентом n/P_i:

, (49)

Если расхождение случайно, то подчиняется - распределению.

Пусть произведено n независимых измерений некоторой величины Х, рассматриваемой как случайная. Задавшись значением интегральной функции распределения К. Пирсона F( ), можно проверить больше или меньше ее аргумента вычисленное значение . Если меньше, то с выбранной вероятностью (Р_i) можно считать случайным числом, подчиняющимся - распределению К. Пирсона, т.е. признать случайным расхождение между эмпирической (опытной) и теоретической плотностью распределения вероятности результата измерения.

Если же окажется, что больше чем , то с той же вероятностью придется признать, что не подчиняется распределению К. Пирсона, т.е. гипотеза о соответствии эмпирического закона распределения вероятности теоретическому не подтверждается.

При проверке нормальности закона распределения вероятности результата измерения применение критерия согласия дает хорошие результаты только, если n>40…50. При меньшем числе наблюдений применяется так называемый составной критерий.

Результаты наблюдений случайной величины х, полученные в специально поставленном эксперименте, или на основании сбора статистических данных, представляют в виде вариационного ряда – последовательности измеренных значений величины, расположенных в порядке возрастания от наименьшего до наибольшего х₁ <х₂ <….< х_n. При этом наблюдения случайной величины х должны проводиться в практически одинаковых условиях, а исследуемая совокупность должна быть однородной.

Целесообразен следующий порядок работы:

1. Найти точечные оценки неизвестных параметров принятого распределения.

2. Подсчитать теоретическую вероятность p_i показания случайной величины в i-ом интервале по формуле

,

(50)

где и – границы i-ого интервала; – теоретическая функция распределения.

3. Вычислить теоретическую частоту (число наблюдений) для каждого интервала по формуле

,

(51)

где – общее число наблюдений (объем однородной выборки); – теоретическая вероятность i-ого интервала.

4. Условия применения критерия Пирсона требуют, чтобы ожидаемое (теоретическое) число наблюдений для каждого интервала было не менее 5. Если в каком-либо интервале окажется , то его нужно объединить с соседним интервалом (или интервалами) таким образом, чтобы суммарная теоретическая частота была не менее 5.

5. Вычислить критерий Пирсона:

,

(52)

где и – соответственно фактическое и ожидаемое числа значений случайной величины, попадающих в i-ый интервал; k – число интервалов, полученное после объединения по пункту 4.

6. Подсчитать число степеней свободы:

,

(53)

где k – число интервалов, для которых ; r – число параметров распределения F(x), для которых точечные оценки были найдены по данным выборки в п.1.

7. Сравнить полученное значение с критическими значениями квантилей распределения Пирсона, соответствующими полученному числу степеней свободы f (смотри табл. 4 приложения 3).

Пусть < < , где и – квантили из табл. 4 приложения 3, которые соответствуют вероятностям q₁ и q₂. Тогда с вероятностью q[q₁, q₂] гипотеза о предполагаемом распределении с интегральной функцией F(x) не согласуется с истинным распределением. Если числа q₁ и q₂ малы, то выбранный закон не противоречит имеющимся данным с большой надежностью 1–q[1–q₁, 1–q₂]. При больших (и q велико) вероятность, что гипотеза верна, то есть 1–q, близка к нулю и требуется дальнейшее исследование заданной выборки.