Глава 7. Поверхности второго порядка

Уравнение

Чертеж

Задачи

1. Эллипсоид

2. Однополостный гиперболоид

3. Двуполостный гиперболоид

или

4. Эллиптический параболоид

5. Цилиндр

6. Сфера

§1 Уравнение касательной и нормали к кривой

Для кривой в точке

Для кривой в точке

Для кривой

Для кривой

1. Уравнение касательной

-

2. Уравнение нормали

-

§2 Кривизна кривой

3. Кривизна для кривой

Задача.

Кривизна линии в точке равна…

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Воспользуемся предложенной формулой ; ; .

Подставим в полученные производные координаты точки , тогда ,

Ответ. №3.

4. Кривизна для кривой

5. Кривизна для кривой

6. Кривизна для кривой

7. Радиус кривизны

Радиус кривизны вычисляется по формуле , где k – кривизна

Представление о знаке кривизны дает рисунок

§3 Поверхность

. Уравнение касательной плоскости

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

Задача.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид…

Варианты ответов:

1) 2)

3) 4)

Решение.

Найдем частные производные

; ;

Подставим координаты точки

; ;

Уравнение касательной плоскости примет вид

Ответ. №2.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

9. Уравнение нормали

Уравнение нормали плоскости к поверхности в точке

Уравнение нормали к поверхности в точке

§1 Некоторые неопределенности и правила их раскрытия

1. Неопределенность вида

, - многочлены

- максимальная степень числителя;

- максимальная степень знаменателя.

где - коэффициент при max степени числителя

- коэффициент при max степени знаменателя

Задача.

Значение предела равно…

1) 2 2) 1 3) 0 4)

Решение.

Максимальные степени числителя и знаменателя совпадают (=2). Коэффициент при max степени числителя =2, в знаменателе = 1.

Ответ. №1

Задача.

Решение.

Максимальная степень числителя =3, знаменателя = 2 (3>2). Следовательно,

Ответ. .

2. Неопределенность вида

Числитель и знаменатель раскладывается на множители с использованием формул:

1)

2)

3)

4) , где

- корни уравнения

Задача.

Решение.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

1)

2)

; .

.

Тогда

Ответ. .

3. Неопределенность вида

Если в функции есть выражение вида , то числитель и знаменатель умножается на . Если есть выражение вида - то на .

Задача.

Решение.

Ответ. .

4. Неопределенность вида

С использованием эквивалентностей

, при

, при

, при

, при

, при

, при

, при

Задача.

Значение предела равно…

1) 0 2) 3) 4) 1

Решение.

У функции аргумент при . Можно воспользоваться предложенной эквивалентностью

Ответ. №2

5. Неопределенность вида

Привести две дроби к общему знаменателю. В результате получится неопределенность вида

Задача.

Решение.

Каждая дробь имеет степень числителя больше, чем степень знаменателя. Следовательно, каждая дробь стремится к .

Ответ. -10

6. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется при неопределенностях или

Задача.

Решение.

Ответ.

§2 Непрерывность функции в точке

1. Точка разрыва I рода (скачок)

- точка разрыва I рода (скачок), если

Задача.

При каких значениях параметра а функция непрерывна?

Решение.

Функция непрерывна, если ,

Ответ. .

2. Точка

устранимого разрыва

- точка устранимого разрыва (точка разрыва I рода), если

3. Точка

непрерывности

- точка непрерывности, если

4. Точка разрыва II рода

- точка разрыва II рода, если хотя бы один из пределов равен

или