Глава 10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Формулы дифференцирования

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13.

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

2. Основные правила дифференцирования

Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда:

1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:

.

2. Производная произведения двух функций равна:

3. Производная частного двух функций равна:

, если .

Задача.

Найти производные функций и .

Решение.

Воспользуемся формулой производной частного:

, т.е. .

Аналогичным образом получим формулу

.

3. Производная сложной функции

Пусть и , тогда является сложной функцией переменной , а переменную называют промежуточным аргументом.

Теорема. Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет в соответствующей точке производную , то сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая находится по формуле

или, коротко,

Задача.

Найти производную функции .

Решение.

Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент : , где . Тогда и, следовательно,

.

4. Производная обратной функции

Теорема. Если функция в некоторой точке имеет отличную от нуля производную , то обратная ей функция в соответствующей точке также имеет

производную , равную

Задача.

Найти производную обратных тригонометрических функций .

Решение.

Пусть . Обратная ей функция имеет вид , где . В интервале имеем . Тогда по правилу дифференцирования обратной функции

,

где перед корнем взят знак +, так как при .

Итак, .

5. Производная неявно заданной функции

Если функция задана неявным уравнением , т.е. не разрешенным относительно , то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .

Задача.

Найти производную функции , заданную уравнением .

Решение.

Функция задана неявно. Дифференцируя обе части этого тождества по , считая, что есть функция от и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

6. Логарифмическое дифференцирование

На практике встречаются функции, производные которых находят логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция .

Найдем производную, предварительно логарифмируя:

или

Задача.

.

Решение.

Найдем логарифм данной функции или . Дифференцируя обе части этого равенства, получим

Отсюда

Задача.

.

Решение.

Прологарифмируем данное равенство

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим

.

7. Производная функции, заданной параметрически

Если функция аргумента задана параметрическими уравнениями

то производная функции по переменной , т.е. вычисляется по формуле:

.

Задача.

Решение.

Найдем и . Следовательно .

8. Касательная и нормаль к графику функции

Уравнение прямой, касательной к графику в точке имеет вид

.

Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку перпендикулярно к касательной, имеет вид

.

Задача.

Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке .

Решение.

Найдем производную функции при . Имеем отсюда .

В результате получим искомые уравнения касательной или и уравнение нормали или .

9. Дифференциал функции

Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Задача.

Найти дифференциал функции .

Решение.

.

10 Приближенное вычисление с помощью дифференциала

Если достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , имеет место приближенное равенство:

или

.

Задача.

Вычислить приближенное значение .

Решение.

Рассмотрим функцию , полагая и применяя формулу

,

получим

.

Ответ. 0,513.

11 Производные высших порядков

Производной го порядка называют производную от производной го порядка. Производную го порядка обозначают или

.

Задача.

Найти , если .

Решение.

;

.

Ответ. 60.

12 Производные высших порядков, заданных параметрически

Если функция задана параметрически, то производные вычисляются по формулам

Задача.

Найти , если .

Решение.

.

13 Дифференциалы высших порядков

Дифференциалом го порядка называется дифференциал от дифференциала го порядка:

или

Задача.

Найти дифференциалы второго и третьего порядков функции .

Решение.

.

;

.

14. Правило Лопиталя

Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки и при всех из этой окрестности, тогда, если

или

т.е. частное имеет в точке неопределенность типа или , то

при условии, что существует предел отношения производных.

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и . Но на практике встречаются неопределенности вида , . Эти неопределенности путем элементарных преобразований можно свести к неопределенностям вида или .

Задача.

Найти .

Решение.

Здесь имеет место неопределенность . Применим правило Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций

.

Последний предел дает неопределенность . Снова применим правило Лопиталя и получим

.

Задача.

Найти

Решение.

.

Задача.

Найти

Решение.

.

15 Теорема Ролля

Теорема (Ролля). Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема в интервале ,

3. на концах отрезка принимает одинаковые значения: .

Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси

Задача.

Выполняется ли теорема Ролля для функции , если , ? При каком значении ?

Решение.

Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях и ее значения на концах отрезка равны:

.

, то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значит с определяется из уравнения

;

;

.

Следовательно,

Ответ. выполняется, .

16 Теорема Лагранжа

Теорема (Лагранжа). Если функция

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема в интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что

.

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Отношение есть угловой коэффициент секущей , а угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой .

Задача. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .

Решение.

Функция определена при всех значениях , а следовательно и на отрезке . Функция дифференцируема на интервале .

Найдем точку с, для которой выполняется равенство , где .

,

,

. Откуда , причем .

17 Теорема Коши

Теорема (Коши). Если функции и

1. непрерывны на отрезке ,

2. дифференцируемы в интервале , причем для всех , то найдется хотя бы одна точка такая, что

18 Теорема Ферма

Теорема (Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна 0, то есть .

19 Интервалы монотонности

Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема в интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) в интервале .

Задача.

Определить интервалы монотонности функции .

Решение. Найдем . Функция возрастает для всех значений , для которых . Решая неравенство , получим .

Аналогично, решая неравенство , получим .

Следовательно, функция возрастает в промежутках и и убывает в интервале .

20 Экстремум функции

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Если дифференцируемая функция y=f(x) в точке имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть (необходимое условие экстремума функции)

Т еорема (достаточное условие экстремума).

непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку . Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргумента через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума.

Задача.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Очевидно, что . Находим . Определим критические точки: . Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы и . Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:

		0		1
	-	0	-	0	+
		нет экстр

Из таблицы видно, что в точке нет экстремума, а точка минимума. Минимум этой функции равен .

21 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:

1. найти критические точки на ;

2. вычислить значения функции в найденных критических точках и в точках , ;

3. из этих значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Задача.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на

Решение.

Находим критические точки:

, , , , , , , .

Наибольшее значение функции при равно 3.

Наименьшее значение функции при равно -8.

22 Вертикальная асимптота

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть или .

Задача.

К ривая имеет вертикальную асимптоту , так как и .

23 Горизонтальная асимптота

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при (или ), если .

Задача.

Прямая является горизонтальной асимптотой кривой , так как .

24 Наклонная асимптота

Прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

;

Задача.

Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: y- x0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

25 Мера плоского множества

Мера множества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения.

Задача.

Мера множества, изображенного на рисунке, равна…

Решение.

Мерой данного множества будет площадь четверти круга, следовательно, если площадь круга , то площадь четверти круга .

Ответ. .

Задача.

Мера плоского множества, изображенного на рисунке,

равна…

Решение.

Площадь заштрихованного треугольника и будет мера данного множества, следовательно, используя геометрический смысл определенного интеграла для нахождения площади, получим: .

Ответ. 1