Глава 5. Прямая в пространстве

§1 Виды уравнений прямой в пространстве

1. Канонические уравнения – это уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

2. Параметрические

уравнения прямой

3. Уравнения прямой, проходящей через две точки и

4. Общие уравнения прямой в пространстве (как пересечение двух плоскостей)

§2 Взаимное расположение прямых в пространстве

Пусть даны прямые и

5. Условие перпендикулярности прямых

6. Условие параллельности прямых

7. Угол между прямыми

§3 Взаимное расположение прямой и плоскости

Даны плоскость и прямая

8. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

9. Условие параллельности прямой и плоскости

10. Угол между прямой и плоскостью

Задача.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

Р ешение.

Нормальный вектор плоскости является направляющим вектором прямой. Прямая проходит через точку . Тогда

уравнение

Задача.

Определить взаимное расположение плоскости и прямой .

Решение.

Для плоскости нормальный вектор ; для прямой – направляющий вектор .

.

Следовательно, плоскость параллельна прямой.

Уравнение

Чертеж

Фокусы

Эксцентриситет

Директриса

Асимптота

1. Эллипс

- центр

- полуоси

Если

–

Если

–

2. Гипербола

- центр

- действительная полуось,

- мнимая

3. Гипербола

или

- центр

- мнимая полуось,

- действительная

4. Парабола

- вершина

- расстояние между фокусом и директрисой

-

-

5. Парабола

-

-

6. Парабола

-

-

7. Парабола

-

-

8. Окружность

- центр

- радиус

-

-

-

9. Две пересекающиеся прямые

-

-

-

-

10. Уравнение

определяет точку

-

-

-

-

-

Задача.

Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:

1. 2. 3. 4.

Варианты ответов: А) эллипс В) гипербола С) окружность D) парабола

Решение.

Проанализируем каждое уравнение

1). Уравнение можно записать в виде . Это уравнение окружности.

2). Уравнение содержит переменную во второй степени, а переменную - в первой. Это уравнение параболы.

3). Поделим уравнение на 4. Тогда . Обе переменные в квадрате. В левой части – сумма; в правой – единица. Это уравнение эллипса.

4). . Обе переменные во второй степени. В левой части – разность; в правой – единица. Это уравнение гиперболы.

Ответ.

Задача.

Установите соответствие между кривой второго порядка и ее уравнением.

1. Парабола 2. Эллипс 3. Гипербола

Варианты ответов: А) В) С) D) Е)

Решение.

1). Парабола. В уравнении одна переменная должна быть в первой степени, другая – во второй. Это уравнение (D).

2). Эллипс. Обе переменные должны быть во второй степени. В левой части – сумма; в правой – единица. Это уравнение (Е).

3). Гипербола. Обе переменные должны быть во второй степени. В левой части – разность; в правой – единица. Это уравнение (В)

Ответ.

Задача.

Если - центр окружности, которая проходит через точку , то уравнение этой окружности имеет вид…

Варианты ответов: 1) 2)

3) 4)

Решение.

Так как - центр, то уравнение может быть №3 или №4. Найдем радиус – это расстояние АС.

. Итак, , тогда уравнение №3.

Ответ. №3.

Задача.

Если уравнение гиперболы имеет вид , то длина ее действительной полуоси равна…

Варианты ответов: 1) 3 2) 16 3) 9 4) 4

Решение.

Действительная полуось берется из положительного слагаемого . Тогда , .

Ответ. №1.

Задача.

Если уравнение окружности имеет вид , то его центром С и радиусом r являются…

Варианты ответов: 1) , 2) , 3) , 4) ,

Решение.

Уравнение можно записать в виде . Тогда центр , радиус .

Ответ. №2.

Задача.

Радиус окружности, заданной уравнением , равен …

Варианты ответов: 1) 3 2) -1 3) 4 4) 1

Решение.

; . Тогда центр , радиус .

Ответ. №4.