Глава 13. Определенный интеграл

§1 Вычисление определенного интеграла

1. Формула Ньютона-Лейбница

Задача.

Вычислить интеграл .

Решение.

.

Ответ. 9.

Задача.

Вычислить интеграл .

Решение.

Ответ. .

2. Замена переменной в определенном интеграле

Задача.

Вычислить интеграл .

Решение.

.

Ответ. .

3. Формула интегрирования по частям

Задача.

Вычислить интеграл .

Решение.

.

Ответ. .

4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

Задача.

Вычислить интеграл .

Решение.

.

Ответ. 0.

Задача.

Вычислить интеграл .

Решение.

.

Ответ. .

§2 Несобственные интегралы

Несобственные интегралы I рода

Если функция непрерывна на , то

(*)

Если функция непрерывна на , то

(**)

Если функция непрерывна на , то

(***)

Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.

Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).

Задача.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .

Решение.

, интеграл сходится.

Несобственные интегралы II рода

Если - непрерывна на и имеет бесконечный разрыв при , то

. (*)

Если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то

. (**)

Если терпит бесконечный разрыв внутри отрезка , т.е. в точке , , то

. (***)

Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.

Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).

Задача.

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

Решение.

, интеграл расходится.

§3 Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат

,

- непрерывна на ,

Задача.

П лощадь фигуры, ограниченной параболой и прямой , вычисляется с помощью интеграла…

Варианты ответов: 1) 2) 3)

4)

Решение.

, следовательно, .

На отрезке график функции расположен выше графика функции , поэтому

Ответ. №3.

Длина дуги плоской кривой в декартовой системе координат

,

Задача.

Найти длину дуги кривой от до .

Решение.

Так как , то ; .

.

.

Ответ. .

,

Длина дуги плоской кривой в полярной системе координат

,

Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде на плоскости

Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде в пространстве

Объем

Площадь поверхности

Объем и площадь поверхности тела вращения

Кривая , вращается вокруг оси

Кривая , вращается вокруг оси

§4 Применение определенного интеграла к решению некоторых задач физики

Вычисление работы

Вычисление работы переменной силы , при перемещении точки вдоль оси из положения в положение

Вычисление пути

Путь пройденный телом за промежуток времени от до со скоростью