Глава 12. Неопределенный интеграл

Первообразная

Дифференцируемая функция называется первообразной для функции на некотором множестве значений , если на этом множестве.

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных функции на некотором множестве называется неопределенным интегралом, т.е.

1. Непосредственное интегрирование

1) ,

2)

3)

а)

б)

2. Внесение функции под знак дифференциала

Таблица дифференциалов

а)

б)

в)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. .

3. Правило подстановки

Подстановка

а)

б)

4. Интегрирование по частям

1) 2)

3)

а)

б)

5. Интегрирование простейших дробей

1)

2)

3)

а)

б)

в)

.

6. Интегрирование рациональных дробей

1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделить целую часть).

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

Дробь правильная. Представим ее в виде суммы простейших дробей:

, приведем к общему знаменателю

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

;

приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

;

Значит:

7. Интегрирование тригонометрических функций

7.1.

Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул

а)

7.2. ,

где и - целые числа

Если m – нечетное положительное, то подстановка .

Если n – нечетное положительное, то подстановка .

Если - четное отрицательное, то подстановка .

Если и - четные неотрицательные, то применяются формулы:

;

б)

7.3.

Универсальная подстановка , тогда

; ;

; .

Если , то подстановка ;

Если , то подстановка ;

Если , то подстановка .

в)

8. Интегрирование иррациональных функций

8.1.

8.2.

8.3. Квадратичные

иррациональности

8.4. Интегралы типа

8.5. Дифференциальный

бином

,

где

- рациональные числа,

а, b – действительные числа

Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей

Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой

Под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку

Подстановка

Подстановка

Подстановка

1-й случай

а) если р – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней;

б) если р – целое отрицательное число, то подстановка , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби;

2-й случай

если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби р;

3-й случай

если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби

Задача.

Первообразными функции являются

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Т.к. , то , тогда

Ответ. №4

Задача.

Множество первообразных функции имеет вид

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Ответ. №1

Задача.

В неопределенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл принимает вид

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Ответ. №4

Задача.

Установите соответствие между интегралом и его значением

1. 2. 3. 4.

Варианты ответов: а) в) с) d) е)

Решение.

1)

2)

3) 4)

Ответ.