Глава 2. Системы координат

1. Координаты точки в полярной системе координат

Точка (см. чертеж) в полярной системе может быть задана с помощью двух координат:

- длина вектора

- угол между

вектором и осью .

Задача.

Полярные координаты точки имеют вид…

1) 2)

3) 4)

Р ешение.

; .

Тогда .

Ответ. №1

2. Связь между декартовой и полярной системами координат

Совместим ось с положительной полуосью . По чертежу из прямоугольного треугольника можно записать формулы связи

Задача.

Уравнение в полярных координатах имеет вид

1) 2)

3) 4)

Решение.

Подставим в уравнение ; . Тогда

.

Ответ. №1

Задача.

Уравнение линии в полярных координатах имеет вид…

1) 2)

3) 4)

Решение.

Ответ. №3

§1 Виды уравнений прямой на плоскости

1. Уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором

Уравнение прямой, проходящей через точку с нормальным вектором

(нормальный вектор – вектор, перпендикулярный прямой)

Задача.

Даны вершины треугольника , , . Тогда уравнение высоты имеет вид…

Варианты ответов: 1) 2)

3) 4)

Решение.

Вектор перпендикулярен прямой PH. Тогда .

Прямая PH проходит через точку .

Тогда уравнение PH: ;

.

Ответ. №3

2. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой

,

где - координаты нормального вектора.

Задача.

Найти нормальный вектор прямой .

Решение.

Коэффициенты при переменных – это координаты нормального вектора. .

3. Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

- угловой коэффициент,

- отрезок, отсекаемый прямой на оси .

Задача.

Прямая проходит через точки и . Тогда ее угловой коэффициент равен…

Решение.

Уравнение прямой через две точки

; .

Выразим y через x, тогда

.

Следовательно,

5. Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

(направляющий вектор – вектор, параллельный прямой)

Задача.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки параллельно вектору

Решение.

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки и

Задача.

Написать уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение.

.

Ответ. .

7. Уравнение прямой по точке с угловым коэффициентом

Уравнение прямой по точке с угловым коэффициентом

, где

- угол наклона прямой к положительному направлению оси .

Если , то .

Задача.

Градусная мера угла между прямой и положительным направлением оси равна…

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Угол между прямой и положительным направлением оси находится из углового коэффициента k.

, . Ответ. №1.

Задача.

Прямая образует с осью угол и проходит через точку . Написать ее уравнение.

Решение.

. Подставим k и координаты точки А в уравнение ; .

8. Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой

Задача.

Параметрическими уравнениями прямой на плоскости являются уравнения…

Варианты ответов: 1)

2) 3) 4)

Решение.

Сравнивая варианты ответов и вид параметрических уравнений, приходим к выводу

Ответ. №1.

9. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

§2 Частные случаи общего уравнения прямой на плоскости

10. Уравнение оси Ох

ось Ох:

Задача.

Укажите правильное соответствие между уравнениями и типами уравнений прямой

1)

2)

3)

Варианты ответов:

А) уравнение прямой с угловым коэффициентом

В) уравнение прямой, параллельной оси абсцисс

С) общее уравнение прямой

D) уравнение прямой, параллельной оси ординат

Е) уравнение прямой в отрезках на осях

Решение.

Проанализируем все уравнения

1. Уравнение вида . Это общее уравнение прямой.

2. Это уравнение вида . Это уравнение с угловым коэффициентом.

3. . В уравнении нет переменной . Тогда прямая параллельна оси .

Ответ.

11. Уравнение оси Оy

ось Оy:

12. Уравнение прямой, параллельной оси Ох

П

или

(в уравнении отсутствует координата )

13. Уравнение прямой, параллельной оси Оy

или

(в уравнении

отсутствует координата )

14. Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Прямая проходит через начало координат:

§3 Взаимное расположение прямых на плоскости

Вид уравнения прямой

С угловым коэффициентом

Общее уравнение

С направляющим вектором

15. Условие параллельности прямых

16. Условие перпендикулярности прямых

17. Угол между прямыми

Задача.

Уравнением прямой, перпендикулярной прямой , является…

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Для прямой угловой коэффициент , т.к. прямая должна быть перпендикулярной, то

1) , , ,

2) , , ,

3) , ,

4) , ,

Ответ. №2.

Задача.

Среди прямых, заданных уравнениями , , , , число неупорядоченных взаимно перпендикулярных пар прямых, равно…

Решение.

Для ;

;

, , ;

, , .

; ; ; , т.к. .

Ответ. число неупорядоченных взаимно перпендикулярных пар прямых равно 4.