2.5. Потік вектору напруженості електростатичного поля. Теорема Гауса.

Розглянемо довільну поверхню , розміщену в електричному полі . В кожній точці поверхні вектор напруженості і вектор зовнішньої нормалі будемо вважати заданими.

Визначимо потік вектору напруженості електричного поля через поверхню

. (2.5.1)

Потік вектору напруженості електричного поля через замкнену поверхню буде визначатися рівнянням

. (2.5.2)

Обчислимо потік вектора напруженості електричного поля, яке створюється точковим , через замкнену поверхню . Заряд знаходиться всередині області , обмеженої поверхнею S (рис. 6).

Елементарний потік вектору через елемент поверхні визначається формулою

. (2.5.3)

Використовуючи рівняння (2.4.3), з виразу (2.5.3) отримуємо

. (2.5.4)

Але, за визначенням

, (2.5.5)

де - елемент тілесного кута з вершиною на заряді, “стягненого” елементарною поверхнею . Отже, вираз (2.5.4) з урахуванням (2.5.5) набуває вигляду

, (2.5.6)

після чого інтегрування в (2.5.2) стає елементарним

(2.5.7)

Результат (2.5.7) є вірним, коли заряд знаходиться в області V. Що стосується зарядів, які лежать за межами поверхні , то неважко довести, що потік вектора для них дорівнює нулю. Дійсно, методом гомотетії (див. рис. 7) можна знайти попарно спряжені елементарні поверхні і , для яких , звідки випливає .

Вираз (2.5.7) легко узагальнюється на випадок електричного поля, створеного системою точкових зарядів. Скориставшись принципом суперпозиції (2.4.4), отримаємо

(2.5.8)

де - точка, в якій розташований заряд з номером i;

(2.5.9)

Нарешті, якщо заряд розподілений в просторі з густиною , рівняння (2.5.8) набуває найбільш універсального вигляду

. (2.5.10)

Вирази (2.5.8) і (2.5.10) є математичними записами теореми Гауса в інтегральній формі, згідно з якою потік вектору напруженості електростатичного поля через замкнену поверхню дорівнює поділеній на універсальну діелектричну сталу сумі зарядів, що знаходяться в об’ємі, обмеженому цією поверхнею.

Отримаємо диференціальну форму теореми Гауса. Для цього скористаємось відомою теоремою Остроградського – Гауса

, (2.5.11)

де - оператор градієнту, а - дивергенція вектору .

Після підстановки формули (2.5.11) в рівняння (2.5.10), отримуємо вираз

, (2.5.12)

який є справедливим для довільної області інтегрування . Це означає, що з рівності інтегралів (2.5.12) випливає рівність підінтегральних виразів

(2.5.13)

Рівняння (2.5.13) є математичним записом теореми Гауса в диференціальній формі.

2.6. Потенціальність електростатичного поля. Скалярний потенціал.

Векторне поле вважається потенціальним, потенціальним, якщо криволінійний інтеграл

, (2.6.1)

обчислений по контуру , який з’єднує точки “1” і “2” (рис. 8), не залежить від форми контуру .

Аналогом критерію потенціальності, сформульованого вище, є наступна умова потенціальності: векторне поле вважається потенціальним, якщо циркуляція вектору напруженості по довільному замкненому контуру дорівнює нулю

(2.6.2)

З огляду на те, що для електростатичного поля справедливим є принцип суперпозиції, достатнім є доведення справедливості критерію (2.6.1) для поля точкового нерухомого заряду. Як і раніше, розмістимо точковий заряд , що створює електростатичне поле, у початку координат. Для інтегралу в (2.6.1) отримаємо наступне

(2.6.3)

З точністю для нескінченно малих вищих порядків, для скалярного добутку в (2.6.3) маємо

. (2.6.4)

Тепер інтеграл (2.6.3) набуває простого вигляду

(2.6.5)

Отже, справедливість критеріїв (2.6.1) і (2.6.2) доведена.

Незалежність інтегралу від шляху інтегрування означає, що підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої скалярної функції. Введемо позначення

, (2.6.6)

в якому має назву скалярного потенціалу електростатичного поля.

Функція визначає деяке скалярне поле. Зрозуміло, що вектор напруженості і потенціал фактично описують одне і теж фізичне електростатичне поле. Тому між напруженістю і потенціалом електростатичного поля повинен існувати і дійсно існує чіткий зв’язок. Встановимо вид цього зв’язку, виходячи з визначення (2.6.6).

Запишемо вектори і у вигляді

(2.6.7)

Рівняння (2.6.6) з урахуванням (2.6.7) набуває вигляду

, (2.6.8)

звідки

(2.6.9)

або, в більш компактній формі

(2.6.10)

Оператор градієнту є лінійним. Це означає, що принцип суперпозиції для електростатичного поля може бути справедливим і для потенціалу

, (2.6.11)

де - парціальні потенціали окремих складових електростатичного поля, - результуючий потенціал електростатичного поля.