2.19. Потенціальна енергія системи зарядів.

Електростатичне поле є потенціальним. За визначенням, потенціальна енергія заряду , розташованого в точці дорівнює

. (2.19.1)

Розглянемо систему точкових зарядів , розташування яких в об’ємі системи характеризується векторами (рис. 17).

Електростатичний потенціал , створений системою зарядів , згідно з принципом суперпозиції може бути поданий у вигляді

. (2.19.2)

Вираз (2.19.2) має вкрай неприємну особливість: потенціал стає нескінченним в усіх точках . Ці нескінченності є прямим наслідком використання ідеалізованих об’єктів - точкових зарядів.

Спробуємо обчислити енергію заряду в електростатичному полі, створеному розглядуваною системою. Безпосередня підстановка (2.19.2) в (2.19.1) дає наступне

. (2.19.3)

Другий доданок в правій частині виразу (2.19.3) формально описує енергію взаємодії точкового заряду з самим собою – так звану енергію самодії - і не має фізичного змісту. Від мусить бути просто відкинутий, як нефізичний, після чого вираз (2.19.3) набуває виду

. (2.19.4)

Позначимо через потенціал, який створюється в системі всіма точковими зарядами за виключенням j-го точкового заряду

. (2.19.5)

Тепер для енергії j-го точкового заряду в електростатичному полі решти зарядів системи отримуємо

. (2.19.6)

Для визначення потенціальної енергії системи зарядів необхідно обчислити суму по всіх зарядах в системі і результат поділити на 2

. (2.19.7)

Поява множника в (2.19.7) зумовлена тим фактом, що в сумах в (2.19.7) енергія кожної із парних взаємодій між i-м та j-м зарядами враховується двічі.

Перейдемо до розгляду систем с неперервним розподілом заряду . В таких системах потенціал є обмеженим; не виникають також нефізичні доданки типу енергії самодії. Переходячи в рівнянні (2.19.2) від обчислення суми до інтегрування, отримуємо для потенціалу

(2.19.8)

і для енергії системи

. (2.19.9)

2.20. Потенціал зарядженого провідника. Електрична ємність. Енергія зарядженого провідника.

Розглянемо провідник об’ємом , обмежений поверхнею . Зарядимо провідник зарядом . Вище ми довели, що цей заряд розподілиться по поверхні провідника з поверхневою густиною . В стані рівноваги вид розподілу забезпечує:

• рівність нулю вектора напруженості електростатичного в об’ємі провідника;

• рівність нулю тангенціальної складової вектора напруженості електростатичного поля на поверхні провідника.

В термінах потенціалу приведені вище властивості електростатичного поля в провіднику можна записати у вигляді рівностей

(2.20.1)

Рівності (20.1) означають, що в статичному випадку потенціал є однаковим в усіх точках провідника; отже, провідник є еквіпотенціальним. Позначимо потенціал провідника через . Зрозуміло, що потенціал залежить від розмірів провідника, його форми і від заряду , який внесено в провідник.

Оскільки провідник є еквіпотенціальним, для визначення достатньо обчислити потенціал в довільній точці всередині або на поверхні провідника

. (2.20..2)

Перепишемо рівняння (2.20..2) у вигляді

, (2.20..3)

де

. (2.20..4)

Відносна (приведена) поверхнева густина заряду повинна бути такою, щоб для провідника заданих розміру і форми забезпечувати справедливість співвідношень (2.20..1). Власне,

однозначно визначається розміром і формою провідника. Від заряду провідника не залежить. Це означає, що права частина рівняння (2.20..3) також не залежить від заряду провідника і є величиною, яка повністю визначається його формою і об’ємом, тобто

. (2.20..5)

Введемо в розгляд електричну ємність провідника С

, (2.20..6)

після чого вираз для потенціалу зарядженого провідника набуває простого вигляду

(2.20..7)