2.30. Магнітне поле заряду, що рухається.

Закон Био-Савара-Лапласа визначає індукцію магнітного поля, створеного елементарним електричним струмом. Вище ми визначили електричний струм як просторово орієнтований рух електричних зарядів. Природним є наступне припущення: магнітне поле створюється кожним з зарядів, що рухається; магнітне поле елементарного струму є результуючим полем всіх зарядів, що утворюють елементарний струм.

На підставі сформульованої вище гіпотези запишемо

(2.30.1)

де - об’єм циліндричного елементарного провідника, - вектори магнітної індукції, які створюються в точці спостереження кожним з носіїв струму, - усереднене по об’єму елементарного провідника магнітне поле носія струму.

Визначимо , виходячи з закону Био-Савара-Лапласа

. (2.30.2)

Ми розглядаємо циліндричний елементарний провідник, в якому тече струм з однорідною густиною . Отже, формулу (2.30.2) можна подати у вигляді

. (2.30.3)

Згадаємо, що за визначенням

. (2.30.4)

Після підстановки рівняння (2.30.4) в вираз (2.30.3), знаходимо

. (2.30.5)

Порівняння співвідношень (2.30.5) і (2.30.1) дає наступне

, (2.30.6)

звідки

. (2.30.7)

Рівняння (2.30.7) визначає індукцію магнітного поля, створеного зарядом , який рухається зі швидкістю .

2.31. Теорема Гауса для магнітного поля.

Теорема Гауса в широкому розумінні дозволяє обчислювати потік векторного поля через замкнену поверхню (інтегральна форма) або дивергенцію векторного поля (диференціальна форма). Вище, виходячи з закону Кулона, ми знайшли конкретний вигляд теореми Гауса для електростатичного поля.

Перейдемо до формулювання теореми Гауса для магнітного поля постійного електричного струму, маючи на увазі, що індукція магнітного поля елементарного струму описується законом Біо-Савара-Лапласа, який зручно записати у вигляді

, (2.31.1)

де - одиничний вектор, який визначає напрямок елементарного струму. Оберемо систему координат так, щоб вектор був орієнтований вздовж осі . Очевидно,

. (2.31.2)

Обчислення векторного добутку є тривіальним; отже, для маємо

. (2.31.3)

Знайдемо дивергенцію вектору .

. (2.31.3)

Отже, дивергенція вектору магнітної індукції магнітного поля, створеного елементарним струмом, тотожно дорівнює нулю. Принцип суперпозиції дозволяє стверджувати, що для вектору магнітної індукції поля, створеного довільним струмом, також має місце

, (2.31.4)

або, в інтегральній формі

. (2.31.5)

Теорема Гауса для магнітного поля доведена. Фізично ця теорема означає, що в природі не існує магнітних зарядів (чогось подібного до постійного магніту з одним полюсом).

Однак ситуація с відсутністю чи наявністю в природі магнітних зарядів насправді не є настільки прозорою, як це, здається, випливає з теореми Гауса для магнітного поля (2.31.4), (2.31.5).

Теорема Гауса, власне, є наслідком емпіричного макроскопічного закону Біо-Савара-Лапласа, згідно з яким єдиним джерелом магнітного поля є заряди, що рухаються, або струми. Однак, як було встановлено пізніше, в царині елементарних частинок існують об’єкти (наприклад, електрони!), що створюють власне магнітне поле, яке не може бути пов’язане з їх рухом. Більш того, з’ясувалося, що принципових фізичних заборон для існування магнітних зарядів просто не існує. Ці та інші обставини, а також, можливо, підсвідоме бажання надати законам електродинаміки більш симетричного вигляду, спонукали Поля Дірака висловити гіпотезу про існування гіпотетичних частинок з одним магнітним полюсом – монополів Дірака. Зрозуміло, що підтвердження гіпотези Дірака про існування монополів призвело б до повного перегляду електродинаміки як науки. Однак до сих пір монополі Дірака в ізольованому стані не спостерігалися; отже переконливими аргументами на користь їх існування фізика не володіє.