2.32. Закон Ампера. Сила Лоренца.

Магнітне поле діє на електричні струми. Кількісно дія магнітного поля на елементарний струм описується емпірично встановленим законом Ампера

. (2.32.1)

Сила, яка діє на струм (зокрема, на елементарний) з боку магнітного поля є сумою сил, що діють на окремі носії струму в провіднику. Знайти величину сили , яка діє на носій струму в магнітному полі досить просто: для цього достатньо застосувати перетворення, викладені в розділі 30. В результаті знаходимо

. (2.32.2)

Якщо в просторі одночасно існують магнітне поле з індукцією і електричне поле з напруженістю , результуюча сила, що діє на носій струму є сила Лоренца

. (2.32.3)

2.33. Контур з струмом в однорідному магнітному полі.

Магнітний момент.

Розглянемо плоский замкнений контур , вміщений в однорідне магнітне поле з індукцією (рис. 25). В контурі тече постійний струм .

Почнемо з обчислення сили , що діє на контур з боку магнітного поля.

Згідно з законом Ампера (2.32.1)

, (2.33.1)

де враховано лінійність векторного добутку.

Отже, сила, яка діє на замкнений контур з струмом в однорідному магнітному полі дорівнює нулю.

Перейдемо до обчислення моменту сил, що діють на контур з струмом в однорідному магнітному полі. Побудуємо декартову прямокутну систему координат так, щоб площина “XY” співпадала з площиною контуру , а вектор лежав у площині “XZ”.

За визначення, момент сили , що діє на елементарну ділянку контуру дорівнює

. (2.33.2)

Для моменту сил , який діє на замкнений контур маємо

. (2.33.3)

Другий інтеграл в рівнянні (2.33.3) дорівнює нулю, що пропонується довести самостійно. Отже

. (2.33.4)

Визначимо вектори , і через їх компоненти, враховуючи умови, застосовані при побудови системи координат

. (2.33.5)

Запишемо рівність (2.33.4) у наступному вигляді

. (2.33.6)

Першій інтеграл в (2.33.6) дорівнює площі поверхні , обмеженій контуром, а другий інтеграл є нульовим. Тепер рівність (2.33.6) набуває простої форми

. (2.33.7)

Врахувавши очевидну тотожність ( - вектор “правогвинтової” нормалі до площини контуру), після введення магнітного моменту контуру з струмом

, (2.33.8)

отримуємо, нарешті, кінцевий результат

. (2.33.9)

Вираз (2.33.9) за конструкцією співпадає з відповідним рівнянням для моменту сил, що діє на електричний диполь в однорідному електричному полі. Ця обставина дозволяє нам відразу записати рівняння, що описує потенціальну енергію контуру з струмом в однорідному магнітному полі

. (2.33.10)

Отримані нами в цьому розділі і розділі 10 результати переконливо свідчать, принаймні, про формальну спорідненість розглядуваних об’єктів: електричного диполя і замкненого контуру з струмом , який іноді, по аналогії, називають магнітним диполем.

2.34. Магнітне поле контуру з струмом.

Обчислимо індукцію магнітного поля на осі колового контуру з струмом на відстані від площини контуру (рис. 26). Згідно з законом Біо-Савара-Лапласа і принципом суперпозиції

; (2.34.1)

. (2.34.2)

На підставі міркувань, пов’язаних з аксіальною симетрією задачі, можна стверджувати, що індукція магнітного поля направлена вздовж нормалі до площини контуру , тобто

. (2.34.3)

Отже, врахування симетрії задачі дозволило нам перейти від обчислення інтегралу векторної функції до обчислення інтегралу скалярної функції

, (2.34.4)

звідки, після нескладних перетворень, отримуємо кінцевий результат

. (2.34.5)

Перейдемо до обчислення середнього значення вектору індукції магнітного поля по площині , яка є “копією” площині контуру і розташована на відстані від площини контуру. За означенням,

. (2.34.6)

Обчислення підінтегральної функції є досить кропіткою і громіздкою задачею (вище ми визначили тільки ). Але, як з’ясується з подальшого, точне обчислення інтегралу в (2.34.6) не є необхідним.

Магнітне поле на площині є аксіально симетричним. Це означає, що , і в результаті

. (2.34.7)

Функція є невід’ємною на всій осі . Отже, усереднене по площині магнітне поле є колінеарним і пропорційним до вектору магнітного моменту контуру з струмом.