2.18. Провідники в електростатичному полі. Електростатичне поле заряджених провідників.

Характерною ознакою провідників є наявність в них “майже вільних” зарядів, які можуть переміщуватись по всьому об’ємі провідника. Єдиним обмеженням, накладеним на переміщення “майже вільних” зарядів є неможливість їх виходу з провідника в оточуючий простір. Отже, умова малості зміщень зарядів під дією електростатичного поля (як це було в діелектриках) в провідниках не є справедливою.

Типовими представниками провідників є метали. В них існують “майже вільних” зарядів тільки одного типу – електрони провідності, і ця обставина робить метали дуже зручним об’єктом для вивчення електростатичного поля в провідниках.

Присутність в провідниках “майже вільних” зарядів зумовлює специфічну поведінку електростатичного поля в об’ємі провідника і поблизу його поверхні. Нижче ми доведемо, що ця специфіка є в певному сенсі універсальною: поведінка електростатичного поля в провідниках не залежить від способу створення електростатичного поля.

Доведемо два твердження.

1. Напруженість електростатичного поля всередині провідника дорівнює нулю.

2. Тангенціальна компонента вектору напруженості електростатичного поля на поверхні провідника дорівнює нулю.

Перш ніж перейти до доведення тверджень зробимо наступне зауваження: електростатичне поле створюється зарядами, просторовий розподіл яких є стаціонарним (тобто густина заряду в системі не залежить від часу).

Розглянемо провідник, що займає об’єм , обмежений поверхнею (рис. 15). Об’ємну густину заряду в провіднику позначимо через , поверхневу густину заряду – через .

Об’ємна і поверхнева густини зарядів створять в просторі електричне поле , яке є векторним функціоналом і . Припустимо, що в просторі існує також зовнішнє (по відношенню до провідника) електростатичне поле . За принципом суперпозиції, результуюче поле описується виразом

(2.18.1)

Якщо твердження “1” не виконується, тобто в об’ємі провідника існують області, в яких результуюче електричне поле не дорівнює нулю, це поле не буде статичним. Справді, під дією електричного поля майже вільні заряди почнуть переміщуватися, що призведе до перерозподілу густини заряду в системі. До тих пір, поки цей перерозподіл триває, об’ємна і поверхнева густини, а з ними і будуть функціями часу.

Отже, необхідною умовою стаціонарності (статичності) електричного поля в провіднику є

. (2.18.2)

Твердження “1” доведене.

Наслідком умови стаціонарності електричного поля в провіднику (2.18.2) і теореми Гауса в диференціальній формі є суттєвий і дещо несподіваний результат

. (2.18.3)

Тотожність (2.18.3) означає, що в будь-яких умовах (вміщенні провідника в зовнішнє електричне поле, внесення в провідник заряду) локальна густина заряду в об’ємі провідника (не на поверхні!) тотожньо дорівнює нулю. Отже, заряд, який наданий провіднику в процесі його зарядження повністю розподіляється на поверхні провідника.

Перейдемо до доведення твердження “2”. Принципово це доведення зводиться до міркувань, ідентичних тим, що використовувалися вище. З огляду на те, що в стані рівноваги заряд в об’ємі провідника тотожно дорівнює нулю, надалі ми можемо апелювати тільки до змін в поверхневій густині заряду .

Припустимо, що на поверхні провідника . Перерозподіл майже вільних зарядів на поверхні провідника не є забороненим. Умовою стаціонарності (статичності) електричного поля зарядів, розподілених на поверхні провідника з поверхневою густиною є

(2.18.4)

П ерейдемо до аналізу поведінки нормальної компоненти вектору напруженості електростатичного поля на поверхні провідника (рис. 16).

По-перше, відзначимо, що в нас нема підстав стверджувати, що нормальна компонента електричного поля на поверхні провідника дорівнює нулю: існує заборона на переміщення “майже вільних” зарядів через поверхню .

Для обчислення нормальної складової вектору напруженості над поверхнею побудуємо прямий круговий циліндр з висотою і основами і , розташованими симетрично відносно перерізу циліндру поверхнею , що обмежує провідник. Розташування в просторі елементарних поверхонь будемо характеризувати координатою (напрямок осі співпадає з напрямком зовнішньої нормалі до ).

Обчислимо потік вектора напруженості електростатичного поля через бічну поверхню побудованого нами циліндру. Цей потік складається з потоку через нижню основу циліндра, потоку через верхню основу циліндру і, нарешті, потоку через бічну поверхню циліндру.

Основа циліндру знаходиться в об’ємі провідника, де Тому ясно, що . Потік через бічну поверхню циліндру буде приблизно пропорційним . Очевидно, зменшуючи ми, відповідно, зменшуємо і ; при цьому основа залишається всередині провідника, а основа - за його межами. З огляду на сказане вище можна записати наступне

, (2.18.5)

де - величина нормальної компоненти вектора напруженості електростатичного поля над поверхнею в точці, нескінченно близькій до поверхні . У відповідності з теоремою Гауса, з (2.18.5) отримуємо

(2.18.6)

Підкреслимо, що всі результати і висновки, отримані в даному розділі, є однаково вірними у трьох можливих випадках:

1. Незаряджений провідник знаходиться в зовнішньому електростатичному полі; результуюче електростатичне поле складається з зовнішнього поля і поля, що виникло в результаті перерозподілу заряду в провіднику.

2. Електростатичне поле створюється зарядженим провідником. Результуюче електростатичне поле створюється розподіленим на поверхні провідника зарядом, внесеним в провідник.

3. Заряджений провідник знаходиться в зовнішньому електростатичному полі; результуюче електростатичне поле складається з зовнішнього поля, поля, що виникло в результаті перерозподілу заряду в провіднику і поля, яке генерує внесений в провідник заряд, розподілений на поверхні провідника.