3.3 Временные характеристики

Для аналитического получения характеристики выходного сигнала y(t), в теории автоматического управления выделяют два типовых входных воздействия во временной области: единичная ступенчатая функция и импульсное воздействие.

Переходной характеристикой h(t) называется реакция звена (системы) на единичное ступенчатое воздействие u(t)=1(t) при нулевых начальных условиях.

Единичная ступенчатая функция (рисунок 3.4) представляет собой мгновенное изменение величины воздействия с нуля до единицы

(3.10)

u(t)

1

t

0

Рисунок 3.4 – Единичный ступенчатый сигнал.

Для систем управления 1(t) является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения систем и вызывают переходы от одного установившегося состояния к другому.

Весовая характеристика это реакция звена (системы) на импульс u(t)=(t), который можно рассматривать как дельта–функцию Дирака

(3.11)

Для систем управления импульсное воздействие является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция. Однако для теоретического описания систем имеет существенное значение. Подобные воздействия характерны для радарных комплексов – описывают передачу импульса при упругом взаимодействии или для гидродинамических систем – моделируют гидравлические удары, возникающие при включении или выключении насосов.

3.3 Методический пример

Для моделирования переходного процесса в MATLAB Simulink используется блок подачи на вход объекта ступенчатого сигнала – Step.

Например, схема получения переходного процесса объекта управления, математическая модель которого имеет вид

, (3.12)

и представлена на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 – Моделирование переходного процесса (3.12)

3.4 Порядок выполнения лабораторной работы №3

1. Построить математическую модель и структурную схему процесса наполнения бака.

2. Построить схемы моделирования в среде MATLAB Simulink.

3. Выбрать параметры динамических процессов и при их варьировании получить значения снимаемых сигналов в различных точках схемы.

4. Снять переходные и весовые характеристики объекта управления.

3.5 Контрольные вопросы

1. Объект управления, управляющее устройство, СУ.

2. Математическая модель объекта управления.

3. Уравнения статики и уравнения динамики.

5. Входные воздействия и выходные координаты объекта управления. Возмущающее воздействие, управляющее воздействие.

6. Структурная схема СУ. Основные элементы структурных схем.

7. Алгоритм построения структурной модели динамических процессов.

8. Переходная характеристика, весовая характеристика.

Лабораторная работа №4. Формы математического представления систем управления

Цель работы: приобретение навыков в работе с различными формами представления математических моделей систем управления.

4.1 Основные теоретические сведения

Существуют следующие формы представления математических моделей систем управления:

1. дифференциальное уравнение n–го порядка

, (4.1)

где t – непрерывное время;

t₀ – начальное время;

– управляющее воздействие;

y(t) – выходной сигнал;

– постоянные коэффициенты, определяемые физическими параметрами звена (системы);

n – порядок дифференциального уравнения системы, .

2. передаточная функция – отношение преобразования по Лапласу выходной величины к преобразованию по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях

, (4.2)

где s – оператор Лапласа;

y(s) и u(s) – изображения y(t) и u(t), соответственно.

Знаменатель выражения (3.2) определяет характеристический полином

, (4.3)

решениями которого являются корни

. (4.4)

Корни (4.4) называются полюсами передаточной функции. Корни числителя передаточной функции называются нулями передаточной функции.

Представление систем в виде передаточной функции имеет в основном технические преимущества: исследователь имеет дело с физическими переменными не только в конечном результате, но и на промежуточных этапах, и зачастую имеет возможность сопровождать теоретическое исследование экспериментом. Но при таком представлении математические описания различных систем и блоков даже в линейном случае получаются разнотипными в зависимости от порядков числителей и знаменателей их передаточных функций.

3) системой дифференциальных уравнений в пространстве состояний, которое дает более единообразное и удобное математическое описание.

Для этого вводят вместо выходных переменных переменные состояния . Описание системы в этих переменных дается системой дифференциальных уравнений первого порядка

, (4.5)

где – вектор переменных состояний объекта управления;

, , , – матрицы состояния, управления, наблюдаемости (матрица выхода по состоянию), выхода по управлению соответственно.

Переход к уравнениям в переменных состояния неоднозначен: выполняя различные преобразования, для одной и той же системы можно получать различные формы. Далее рассмотрим переход только к нормальной форме.

Если в (4.1) m=0, то уравнение (4.1) n–го порядка можно привести к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка

(4.6)

Матричную форму системы (3.6) можно получить, введя в рассмотрение вектор и матрицы

.

Если в (4.1) mn, то нормальная форма имеет вид

(4.7)