9.1.2 Косвенные оценки качества по ачх

Перечисленные показатели качества переходного процесса можно оценить также косвенно, по каким либо другим легко определяемым характеристикам системы. Например, по амплитудно–частотной характеристике (АЧХ) замкнутой системы или по логарифмическим амплитудно и фазочастотным характеристикам (ЛАЧХ, ЛФЧХ) разо­мкнутой системы

Для оценки качества процесса используются следующие величины:

1. Показатель колебательности – отношение макси­мального значения амплитудно–частотной характеристики замкнутой системы к ее значению при =0 (рисунок 9.2).

Рисунок 9.2 – Косвенные оценки качества по АЧХ

Показатель колебательности не должен превышать значений 1,1–1,5, в некоторых системах допускаются до значений 2–2,5. Чем выше , тем менее качественна система при прочих равных условиях.

2. Резонансная частота _р, соответствующая максимальному значению амплитудно–частотной характеристики (рисунок 9.2), т.е. на этой частоте гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением.

3. Полоса пропускания системы – это интервал частот от =0 до ₀, при которой выполняется условие 0,707А₃(0)А₃() (рисунок 9.2). Полоса пропускания не должна быть слитком широкой, иначе система будет воспроизводить высокочастотные помехи.

4. Частота среза _с – частота, при которой амплитудно–частотная характеристика системы принимает значение, равное 1, т.е. А₃(_с) =1. Чем меньше частота среза, тем хуже быстродействие системы

.

Если переходный процесс имеет одно–два колебания, то время достижения переходной характеристикой первого максимума .

9.1.3 Определение запаса устойчивости. Методический пример

При исследовании САУ важно не только установить, устойчива система или нет, но и определить запас устойчивости – граничные значения параметров управляющего устройства (параметры объекта управления считаются неизменными), при которых сохраняется устойчивость системы. Запас устойчивости определяется по критериям устойчивости и, в частности, по условиям, когда система находится на границе устойчивости.

Методический пример. Рассмотрим задачи определения запасов устойчивости систем по двум критериям.

1. По критерию Гурвица. Поставленная задача сводится к нахождению критических значений коэффициента усиления. Пусть замкнутая система задана передаточной функцией

.

Матрица Гурвица

.

В соответствии с критерием Гурвица для устойчивости системы необходимо выполнение следующих соотношений

Отсюда, коэффициент усиления удовлетворяет неравенствам

Вывод: Замкнутая система устойчива, если удовлетворяется соотношение .

2. По логарифмическому критерию Найквиста. Поставленная задача сводится к нахождению запасов устойчивости по фазе и амплитуде, которые характеризуют склонность системы к колебаниям.

Пусть разомкнутая система задана передаточной функцией

.

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ данной системы в MATLAB с использованием команды >bode (рисунок 9.3).

По критерию Найквиста совпадение частот, при которых ЛАЧХ и ЛФЧХ пересекают соответственно ось частот и линию –, соответствует границе устойчивости системы, а коэффициент усиления такой системы называется критическим k_кр.

Поэтому для нахождения k_кр ЛАЧХ исходную (рисунок 9.3) следует перемещать параллельно самой себе вверх до тех пор, пока указанные частоты не совпадут – до ЛАЧХ с k_кр. Коэффициент усиления, соответствующий новой ЛАЧХ является критическим

.

Запас устойчивости по фазе =45⁰ и амплитуде А=20дБ (рисунок 9.3) определяется по перпендикулярам, проведенным соответственно вниз от точки ЛАЧХ при =0 и вверх от точки ЛФЧХ при = .

Рисунок 9.3 – Определение показателей качества по ЛАЧХ и ЛФЧХ