7.4 Контрольные вопросы

1. Свойство устойчивости систем.

2. Условие устойчивости по начальным данным, по входному воздействию

3. Условия устойчивости (теоремы Ляпунова).

Лабораторная работа №8. Критерии устойчивости систем

Цель работы: исследование устойчивости систем управления на основе алгебраических и частотных критериев устойчивости.

8.1 Основные теоретические сведения

На практике устойчивость автоматической системы определяют с помощью критериев устойчивости. Критерий устойчивости – это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

Ниже приведены основные критерии устойчивости без доказательств. Критерии Гурвица и Найквиста используются для исследования свойства устойчивости как разомкнутых (рисунок 8.1), так и замкнутых систем (рисунок 8.2). Критерий Найквиста используется для исследования устойчивости только замкнутой системы по свойствам разомкнутой системы.

Рисунок 8.1 – Структурная схема разомкнутой системы

Рисунок 8.2 – Структурная схема замкнутой системы

8.1.1 Алгебраический критерий Гурвица

Исходные данные – система с характеристическим полиномом

, (8.1)

по которому необходимо построить матрицу Гурвица

. (8.2)

Критерий устойчивости. Для того чтобы линейная система обладала свойством устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все параметры характеристического полинома (8.1) совпадали по знаку с параметром а₀, а также все определители главных диагональных миноров матрицы Гурвица (8.2) совпадали по знаку с параметром а₀.

8.1.2 Частотный критерий Михайлова

Исходные данные – система с комплексным характеристическим полиномом, полученным в результате использования преобразования Лапласа для уравнения (8.1)

. (8.3)

По уравнению (8.3) строится кривая в комплексной плоскости – годограф Михайлова.

Критерий устойчивости. Для того чтобы система обладала свойством устойчивости необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова

1) начинался с положительной действительной оси;

2) при проходил в положительном направлении (против часовой стрелки);

3) проходил через n квадрантов, нигде не превращаясь в ноль, где n – порядок характеристического уравнения.

Рисунок 8.3 – Годограф Михайлова (для случая n=3 – система устойчива)

а) n=4 б) n=4 в) n=2

Рисунок 8.4 – Годограф Михайлова в случае неустойчивости систем

8.1.3 Частотный критерий Найквиста

Исходные данные – амплитудно–фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.

Критерий Найквиста формулируется по–разному в зависимости от того, разомкнутая система устойчива, неустойчива или находится на грани устойчивости. Рассмотрим эти случаи в отдельности.

Критерий устойчивости для 1 случая. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до + не охватывала точку с координатами (–1 ; j0).

а) замкнутая система б) замкнутая система в) замкнутая система

устойчива на границе устойчивости неустойчива

Рисунок 8.5 – АФЧХ устойчивой разомкнутой системы

Критерий устойчивости для 2 случая. Если разомкнутая система не устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении  от 0 до охватывала l/2 раз в положительном направлении точку с координатами (–1;j0), где l – число правых корней.

Переход АФЧХ при увеличении  от 0 до + через отрезок вещественной оси с –1 до – сверху вниз считают положительным направлением, а снизу вверх – отрицательным.

Im

а) замкнутая система б) замкнутая система

устойчива (l=2) неустойчива (l=2)

Рисунок 8.6 – АФЧХ неустойчивой разомкнутой системы

Критерий устойчивости для 3 случая. Если разомкнутая система не устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до , дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывала точку с координатами [–1;j0].

а) замкнутая система б) замкнутая система

устойчива неустойчива

Рисунок 8.7 – АФЧХ разомкнутой системы на границе устойчивости (дополненной дугой бесконечно большого радиуса R)

Критерий устойчивости в общем случае. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы через отрицательную действительную полуось от –1 до – была равна l/2 раз, где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

а) замкнутая система устойчива б) замкнутая система устойчива

(l=2, разница между переходами (l=0, разница между переходами

 и равна 1)  и равна 0)

Рисунок 8.8 – АФЧХ неустойчивой разомкнутой системы