10.1.1 Типовые регуляторы и устойчивость. Методический пример
Получим условия устойчивости при использовании регуляторов для системы, структурная схема которой представлена на рисунке 10.1.
Рисунок 10.1 – Структурная схема СУ с регулятором
Пусть объект управления описывается передаточной функцией вида
.
(10.1)
В качестве управляющего устройства Wрег(s) поочередно используются три типа регуляторов с передаточными функциями и уравнениями управления:
И–регулятор:
,
,
П–регулятор:
,
,
ПИ–регулятор:
,
.
Запишем характеристическое уравнение системы с ПИ–регулятором:
.
Если коэффициент передачи выбран заранее (например, из условий технической реализуемости регулятора), то для обеспечения устойчивости системы требуется подобрать постоянную времени интегратора из условия
,
(10.2)
Получим условия устойчивости при использовании И–регулятора. Характеристическое уравнение в этом случае будет
.
Область возможных значений постоянной времени интегратора определится неравенством
.
(10.3)
Из сопоставления неравенств (10.2) и (10.3) следует, что для системы с ПИ–регулятором данные условия являются менее жесткими, то есть постоянная времени интегратора может изменяться в более широких пределах при сохранении устойчивости.
При включении П–регулятора характеристическое уравнение системы имеет второй порядок
.
(10.4)
Следовательно, с точки зрения устойчивости, система с объектом второго порядка с П–регулятором имеет предпочтение перед системами с И– и ПИ–регуляторами, которые, повышая порядок системы, ограничивают область устойчивости.
10.1.2 Анализ точности системы управления
Одним
из показателей качества СУ является
точность,
которая определяется величиной ошибки
в различных режимах работы системы.
Однако из–за сложности определения
в любой момент времени точность принято
оценивать по величине установившейся
ошибки
.
В зависимости от наличия установившейся ошибки в системе различают статические и астатические СУ.
Статическими называются такие СУ, в которых регулируемая величина при различных постоянных, внешних воздействиях на объект, принимает по отношении переходного процесса различные значения, зависящие от величины внешнего воздействия.
Астатическими называются такие СУ, в которых при различных постоянных значениях внешнего воздействия на объект управления, отклонения регулируемой величины от требуемого значения по окончании переходного процесса становится равным нулю.
Величину установившейся ошибки можно вычислить, используя теорему о конечном значении преобразования Лапласа, по формуле
,
где
–
изображение ошибки;
– изображение
входного сигнала, в качестве которого
примем ступенчатый сигнал
;
– передаточная
функция ошибки.
Запишем выражения передаточной функции ошибки для различных видов регуляторов:
– для
ПИ–регулятора:
;
– для
И–регулятора:
;
– для
П–регулятора:
.
Вычислим
для различных регуляторов:
– для
ПИ–регулятора и И–регулятора:
,
– для
П–регулятора:
.
Следовательно, при ступенчатом воздействии система является астатической, если ее передаточная функция содержит хотя бы одно интегрирующее звено. Поэтому, с точки зрения точности, система с И– и ПИ–регуляторами предпочтительнее системы с П–регулятором.
Таким образом, требования к САУ по устойчивости и точности противоречивы. Задачей синтеза САУ является выбор таких параметров, которые при выполнении условий устойчивости обеспечивали бы заданную точность системы.