Вероятности составных событий.

Рассмотрим, какой вид имеют формулы для вероятностей тех событий, которые являются результатами логических операций над событиями.

Для операции «НЕ» имеем:

1. Отсюда .

События А и называются противоположными событиями. Они всегда несовместны.

Для операции «ИЛИ» получим:

2. Эта формула справедлива для произвольных (как совместных, так и несовместных) событий.

Вывод приведенных формул станет очевиден, если посмотреть на рис.2 и вспомнить, что вероятности - площади соответствующих областей.

Из последней формулы следует:

.

Когда события А и В несовместны, , и это означает, что вероятности объединения несовместных событий складываются:

.

Для трех произвольных событий без особого труда выводятся формулы:

. Эти формулы получаются при подсчете площадей частей множеств на рис 3-в.

А вот чтобы рассмотреть формулы для операции «И», требуется ввести понятие условной вероятности и, как следствия, понятия зависимых и независимых событий.

Условная вероятность и независимые события.

В ероятность события А, при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью и обозначается p(A/B). При этом подразумевается, что вероятность p(B) отлична от нуля и от единицы, ибо иначе условная вероятность не имеет смысла. В самом деле: если вероятность В равна единице, то В происходит всегда, и не влияет на вероятность события А. Если же В никогда не происходит, то оно никак не может влиять ни на что, в том числе, и на событие А. Любая вероятность имеет смысл при неизменном комплексе условий C, поэтому любая вероятность, по сути, является условной.

Рис 4

Условная вероятность равна отношению площадей области В и той части В, которая является общей с областью А. Ведь, когда известно, что точка уже попала в область В (событие В состоялось), то наступление события А может означать только попадание точки в пересечение А и В. См. рис 4.

Для условных вероятностей справедливо тождество:

.

Событие А называется независимым от события В, если выполняется условие: .

Чтобы понять, являются ли события независимыми, следует попробовать мысленно смоделировать их вытаскиванием шаров из отдельных урн, или верчением независимых рулеток, или выбрасыванием независимых костей.

Теорема. Вероятности пересечения (произведения) независимых событий перемножаются.

Схема доказательства. Допустим, у нас есть два независимых события. Раз они независимы, их можно смоделировать в виде вытаскивания по-отдельности двух шаров из двух разных урн.

Пусть событие А моделируется вытаскиванием шара из урны, в которой белых шаров, остальные черные, а всего шаров, а событие В моделируется вытаскиванием шара из урны, в которой зеленых шаров, остальные красные, а всего шаров. Вероятность вытащить один черный и один зеленый будет:

.

Для независимых событий справедливы следующие утверждения.

Несовместные события всегда зависимы. Наступление (ненаступление) одного из них всегда изменяет вероятность наступления другого. Это очевидно. Если использовать геометрическую интерпретацию вероятностей.

Независимые события всегда совместны. Ибо если они будут несовместны, то будут и зависимы.