Задачи по теории вероятностей.

Рассмотрим семь непересекающихся множеств, сумма площадей которых равна

объединению множеств А, В, С.

P(1)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)

P(2)=P(AB)- P(ABC)

P(3)=P(B)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)

P(4)=P(AC)- P(ABC)

P(5)= P(ABC)

P(6)=P(BC)- P(ABC)

P(7)=P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)+ P(6)+ P(7) =P(A)-P(AB) -P(AC)+P(ABC)+P(AB)- P(ABC)+P(B) -P(AB) -P(BC)+P(ABC)+

+P(AC) - P(ABC)+ P(ABC) +P(BC) - P(ABC)+P(C) -P(AC) -P(BC) +P(ABC)=

P (A)+P(B)+P(C) -P(AB) -P(AC) -P(BC) +P(ABC)

Задача о туберкулезе (на формулу Байеса)

С₁ -есть туберкулез, С₁ - его нет. Е- затемненная флюорограмма.

Р(С₁ )=0.05, Р(С₂ )=0.95.

Р(Е / С₁ )=0.85, Р(Е / С₂ )=0.15

Задача1. Куда подевались женщины из присяжных Бенджамина Спока?

Задача2. Какова вероятность случайно обнаружить в булочке число изюминок на 30% меньшее, чем среднее?

Задача3. Сколькими способами можно раздать по 6 карт из 36 для "Подкидного дурака"?

Задача 4а, б, в. О русской рулетке, о минном поле, о матери-героине.

Задача 5. Ковбой стреляет по бутылкам. Какой счет следует ожидать?

Задача 6. Таможенный контроль туристов.

Задача 7. Таможенный контроль железнодорожного состава.

Задача 8. Случайные блуждания.("Пьяница на краю обрыва")

Задача 9. Совпадающие дни рождения.

Задача 10. Упрощение событий с помощью алгебры. Попадания в мишени.

Задача 11. Синтез надежной системы из ненадежных блоков.

Задача 12. На теорему Байеса: переоценка вероятностей под давлением новых улик.

Задача 13. Принятие решений сравнением матожиданий.

Социальное управление за счет влияния на решающие правила человека

Социальное управление, как и любое управление вообще, основывается на обработке информации, но имеет свою специфику.

Социальные явления можно представить как процессы непрерывного взаимосогласовывания многочисленных актов принятия решений различными субъектами, причем взаимосогласовывание происходит за счет обмена информацией.

При таком представлении повышение эффективности социального управления заключается в том, чтобы минимизировать процент социально неприемлемых и максимизировать процент социально одобряемых решений.

Исследования принятия решений человеком показали большую точность математической модели, согласно которой человек принимает решение после сравнения ожиданий возможных потерь и выигрышей, характеризующих набор доступных альтернатив, но эти потери и выигрыши, а также и вероятности их получения, оценивает весьма субъективно .

Опираясь на эту модель, следует сделать вывод, что эффективное социальное управление должно заключаться:

во-первых, в обеспечении функционирования социальной системы таким образом, чтобы :

а) вероятности наказаний для лиц с социально неприемлемым поведением были объективно достаточно велики а сами наказания достаточно суровыми;

б) вероятности получения поощрений для лиц с социально одобряемым поведением были объективно достаточно велики а сами поощрения достаточно привлекательными;

во-вторых, в формировании у населения адекватных представлений об истинной стоимости возможных потерь и выигрышей, а также об истинных вероятностях наступления значимых событий - позитивных или негативных.

Отсюда следует:

Эффективное социальное управление должно заключаться прежде всего в управлении потоками информации, а потом уже в управлении всем остальным.

Приведем примеры, подтверждающие приведенные тезисы.

Статистические исследования, проведенные в США в 1978 году [2], показали, что население совершенно неадекватно оценивало различные риски. Так, вероятность гибели в результате поражения молнией преувеличивали примерно в 1000 раз, вероятность стать жертвой вооруженного нападения на улице - в 77 раз. В то же время вероятность преждевременной смерти из-за курения и употребления алкоголя население преуменьшало примерно в 12 раз. Примечательно, что вероятность пострадать от неосторожного обращения с хранящимся дома оружием население преуменьшало примерно в 13 раз. В те же годы в крупных городах США была высокая преступность. Всё это было предметом многочисленных дискуссий в СМИ, на это обратили внимание политики и администрация. В результате в этой стране с тех сравнительно недавних лет многое изменилось. Там организовали потоки информации между различными государственными и общественными учреждениями с одной стороны и различными группами населения с другой стороны, то есть, употребляя классическую терминологию, организовали пропаганду. Уже получены весьма впечатляющие результаты. Так, резко снизилась преступность в Нью-Йорке, которая еще несколько лет назад была "притчей во языцех". Общеизвестно, что число курильщиков в США ежегодно снижается, а число лиц интенсивно оздоровляющихся с помощью разнообразных систем физической активности, растет, и т. д., и т.п. И все это результат целенаправленной пропагандистской деятельности, влияющей на принятие решений отдельными людьми.

В общей теории систем существует понятие "жесткий параметр". Так называется параметр, изменение которого на одну единицу его меры сопряжено со значительными приращениями изменяющего воздействия. Чтобы изменить жесткий параметр, систему следует охватить петлей сильной положительной обратной связи. Это позволяет создать саморазвивающийся под действием положительной обратной связи процесс. Очевидно, что и в социальных системах есть жесткие параметры.

Эти рассуждения позволяют в теорию социальных систем перенести тезис:

Чтобы изменить "жесткие" параметры, необходимо организовать саморазвивающиеся процессы их поэтапного улучшения.

Интересные выводы получаются, если применить этот тезис к проблеме борьбы с преступностью. Мы постараемся не ограничивать общность рассуждений, но по умолчанию будем подразумевать эту проблему в России. Допустим, в некоем регионе за некий отчетный период преступлений некоего типа совершается 1000. Раскрываемость по ним составляет 40%. Принято считать, что эта цифра совершенно неудовлетворительна, требуется 100% или, в крайнем случае, 99%. Однако зададимся вопросом: что лучше для жителей этого региона? Чтобы частота таких преступлений сократилась вдвое, или пусть их будет столько же, но раскрываемость повысится вдвое? Ответ очевиден: сокращение числа преступлений предпочтительнее. Теперь попробуем оценить значение раскрываемости 40% с точки зрения представителей той группы, из которой рекрутируются преступники указанного типа. Навряд ли все они способны осознавать и анализировать эту цифру рационально, но каждый из них способен ощущать её как совершенно неприемлемую, если она будет доказательно представлена перед ними документальными фактами и живыми примерами.

Мировой опыт показывает, что интенсивная и правильно организованная психолого-профилактическая работа с потенциальными преступниками неминуемо приводит к уменьшению числа преступлений, хотя это уменьшение и не всегда радикально. Уменьшение преступности, в свою очередь, повышает раскрываемость, поскольку имеющийся ресурс оперативно-розыскных мероприятий делится на меньшее число прецедентов. Отсюда логически вытекает весьма важное следствие: когда увеличивается информационное и психологическое давление на потенциальных преступников, появляется возможность организовать саморазвивающийся, сходящийся к нужному результату процесс уменьшения преступности и одновременного повышения раскрываемости. Это означает, что цифра раскрываемости в 40%, взятая в нашем примере, не так уж и плоха, если рассматривать ее как стартовую. Материально-финансовые ресурсы, направляемый на борьбу с преступностью следует так делить между оперативно-розыскной деятельностью и психологической профилактикой, чтобы организовать саморазвивающийся процесс улучшения обстановки.

Очень большую роль в формировании экспектаций преступника о безнаказанности играет пассивное поведение населения, свидетелей. В странах, где преступность традиционно невелика, например, Англия, Швейцария, распространен обычай активного сотрудничества населения с полицией. Люди сознательно поставляют информацию в правоохранительные органы, не считают это зазорным. Иначе говоря, существуют мощные каналы оперативной информации. Если в России поставить стратегическую и системную задачу повышения эффективности каналов оперативной информации от населения и целенаправленно её решать, это также приведёт к уменьшению преступности. Во-первых, часть населения не смотря ни на что, откликнется на призыв, что приведет к увеличению раскрываемости и как следствие, к некоторому ее снижению, то есть саморазвивающийся процесс несколько усилится за счет дополнительного импульса. Во-вторых, потенциальные преступники увидят в усилении такой пропаганды дополнительный фактор, увеличивающий их риск, это немного уменьшит преступность, что в свою очередь немного повысит раскрываемость, что даст еще один дополнительный импульс саморазвивающемуся процессу и т.д.

Чтобы усилить саморазвивающийся процесс, следует улучшать функционирование каналов сбора оперативной и доказательной информации. Если уж программы защиты свидетелей, функционирующие в богатых странах, долгое время еще не будут доступны для России по финансовым соображениям, то стоит внедрять иные формы сотрудничества, которые минимизируют риск свидетелей пострадать от преступной мести. Если всё общество будет знать о реальном функционировании таких форм сотрудничества, то это даст еще один дополнительный импульс процессу уменьшения преступности.

Статистический анализ показывает, что и жертвы преступных посягательств подразделяются на группы по типам поведения, по ситуациям. Отсюда следует, что эти люди образуют группы риска, и к ним тоже необходимо иметь каналы информации и по ним вести профилактическую работу, чтобы снизить количество жертв преступных посягательств. Это тоже будет способствовать процессу уменьшения преступности.

Приведенные рекомендации давно сформулированы в других терминах и составляет определенную часть профилактической работы правоохранительных органов. Но описание проблемы в терминах теории принятия решений и теории информации тем не менее имеет большое практическое значение, ибо позволяет создавать математические модели социальных процессов и использовать имитационное моделирование для получения прогнозов и оценки эффективности разрабатываемых рекомендаций..

Поэтому главные выводы заключаются в следующем.

• Для изменения "жестких" параметров социальных систем следует организовывать саморазвивающиеся процессы их улучшения.

• Профилактика нежелательных социальных явлений заключается прежде всего в обеспечении надлежащего функционирования соответствующих каналов информации, влияющих на процедуры принятия решений людьми. Это способствует установлению саморазвивающихся процессов улучшения социальной обстановки.

• Необходимо проводить тщательный статистический анализ представлений разных групп населения о недопустимых, или, наоборот, о приемлемых рисках, которым они могут подвергаться, принимая те или другие социально значимые решения.

• Следует также проводить тщательный системный анализ наличия необходимых каналов информации в обществе, поставляющих информацию о рисках, анализ сечения этих каналов, наличия запаздывания, искажений в них.

• Следует обобщить накопленный положительный опыт с позиций системного анализа, оптимизировать структуру информационных каналов и наладить непрерывные потоки информации в них, чтобы население имело все возможности правильно оценивать риски и принимать адекватные и социально приемлемые решения.