Моменты.

Моментами нижеупомянутые величины называются потому, что формула, по которой они вычисляются, похожа на формулы для моментов в механике: момента инерции и других.

Начальным моментом s-го порядка называется величина, вычисляемая по формуле:

Для непрерывной случайной величины .

Центральным моментом s-го порядка называется величина, вычисляемая по формуле:

, где с - координата центра, равная матожиданию, см. ниже.

Связь матожидания и среднего арифметического.

Средневзвешенное называется матожиданием. Матожидание -то, к чему в пределе стремится среднее арифметическое.

В самом деле, допустим, у нас есть результаты N независимых испытаний, в которых встречается раз, а . Тогда среднее арифметическое можно представить как , где "пэ итое в шляпе" оценка вероятности. При увеличении числа опытов оценка вероятности стремится к истинному значению вероятности. Это можно считать одной из формулировок закона больших чисел.

Получение оценок вычислением моментов.

Оценки получаются, когда в формулы и вместо теоретических значений и подставляются их оценки , полученные из опыта.

Примечание. Использование "шляпок " для обозначения того факта, что данная величина является оценкой, не всегда является удобным, поскольку загромождает вычисления. Поэтому их часто опускают. В этом случае информация о том, что обозначает буква, теоретическую величину или её оценку, обычно содержится в контексте. Оценки всегда получаются по наблюдённым величинам.

Оценки положения.

М- мода, m- медиана, "х с чертой" - среднее . Это теоретические величины, если рассматриваемая функция распределения - теоретическая. Но если эта гладкая кривая получена подгонкой под гистограмму, то указанные величины - оценки. Как они вычисляются по выборкам, рассмотрим ниже.

Характеристики оценок.

Оценка параметра  называется несмещённой, если M[ ] = . То есть, когда нет систематической ошибки.

Несмещённая оценка параметра  называется эффективной, если из всех оценок этого параметра полученных по выборкам такого же объема, она будет иметь наименьшую дисперсию.

Об имитационном моделировании

С помощью доски Гальтона можно моделировать физические процессы. Аналогично обстоит дело и с вероятностными моделями социальных событий. Множество социальных коллизий подобны гвоздикам, а человеческие судьбы подобны траекториям шариков. Следовательно, когда мы знаем функции распределения тех или иных случайных величин, описывающих социальные процессы, мы можем имитировать развитие ситуаций на компьютере.

Итак, если мы знаем статистику социального явления, мы можем оценить функции распределения и смоделировать социальное явление на компьютере.

Пример. Довольно хорошо известна статистика деятельности рекламных компаний, страховых компаний, а так же милицейская статистика угонов автомобилей и дорожно-транспортных происшествий. На основании этого можно смоделировать жизнь страховой компании, взявшейся страховать автомобили от угонов по определенному тарифу. Сначала моделируется случайное число потенциальных клиентов, откликнувшихся на рекламу. Затем моделируются случайные числа, характеризующие лиц, застраховавших свои автомобили по данному тарифу. После этого моделируется набор случайных чисел, описывающий наступление страховых событий и последовавшие за ними выплаты. Такой подход позволяет сымитировать пятилетний период жизни страховой компании за несколько секунд. Периоды получаются не слишком похожими, поскольку случайность разыгрываемых событий накладывает свой отпечаток. Однако пятилетний период нетрудно "прожить" таким образом 50 раз, затем получившиеся результаты усреднить и оценить разброс. И такой результат моделирования уже позволяет менеджерам принимать решения.

В тех случаях, когда оценки кривых распределения на основе известных статистических данных по каким-то причинам сделать невозможно, задача имитационного моделирования усложняется. Можно поступить следующим образом: принять некие гипотетические распределения и на их основе попытаться получить некий уже известный результат. Если он получится, то этот факт подтвердит правильность предположений о распределениях. Хотя такой путь усеян массой "подводных камней", но и его стоит применять, ибо при исследовании многих социальных, в особенности исторических, событий ничего другого не остается делать.