Распределения и закон больших чисел

Рассмотрим прибор, называемый доской Гальтона. Представьте себе, что на классной доске приклеены узкие перегородки, образующие карманы. В доску вбиты несколько горизонтальных рядов закалённых полированных стальных гвоздиков равной толщины, на равном расстоянии друг от друга.

Рис.6. Доска Гальтона. Передняя стенка прозрачная.

На гвоздики из трубки сыплются одинаковые шарикоподшипники. Поскольку каждый ряд гвоздиков сдвинут на полшага относительно соседей так, чтобы шарики непременно ударялись о гвоздики, то шарики случайным образом соударяются с гвоздиками, отскакивают в разных направлениях и, в конце концов, распределяются по карманам, что мы можем наблюдать через переднюю стенку. Мы в принципе не можем проследить зигзагообразную траекторию каждого шарика, да и не желаем этого делать. Но мы можем начертить огибающую - кривую распределения шариков по карманам, характеризующую частоты попаданий в карманы, и это нас устраивает!

Функция, которая описывает, какую вероятность появления имеет каждое значение случайной величины, называется функцией распределения плотности вероятности. На её графике по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности их появлений.

На рис.6 показан пример кривых распределения. Случайной величиной в этом примере является «коэффициент интеллекта». Для коэффициента интеллекта приведены две различные кривые.

Рис.7. Пример функций распределения.

Высказывание о функции распределения это всегда предположение, или одна из математических моделей, которая обоснована лишь в некоторой степени, большей или меньшей.

Функция распределения плотности вероятности – математическая абстракция, полученная в результате мысленной операции, именуемой предельны переходом. Поэтому она гладкая, в отличие от той картинки, которую мы наблюдаем на доске Гальтона.

Но откуда можно узнать функции распределения? Прежде всего, из наблюдений.

Если проведено N наблюдений и из них некая случайная величина появилась раз, то называют частотой, а называют частостью. Иначе говоря, частота - абсолютное число случаев появления данного значения случайной величины, частость –относительное число, доля от всех значений в совокупности. Частость от вероятности отличается тем, что описывает только уже произошедшие и зарегистрированные события. Если принять гипотезу, что прошлое похоже на настоящее, то частость служит оценкой вероятности будущих таких же событий. Вероятность - ожидаемая, предвосхищаемая доля, частость - уже полученная.

Статистические закономерности обнаруживаются благодаря закону больших чисел. Это фундаментальный закон, поэтому приводим две его равноценные формулировки.

1. Относительные погрешности наблюдённых частостей убывают с ростом числа наблюдений.

.

2. Разность между ожидаемой и фактической долей стремится к нулю с возрастанием числа наблюдений.