- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
Определение 7. Метрическим пространством называется пара (Х, d), где Х - произвольное множество, а d: XX R - отображение, называемое метрикой, удовлетворяет следующим трем аксиомам:
1. d(x, y) 0; d(x, y) = 0 x = y (неотрицательность).
2. d(x, y) = d(y, x) (симметричность).
3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (неравенство треугольника).
Пример 6. Евклидово пространство Rn состоит из множества всех n-мерных векторов, метрика в котором задается равенством d(x, y) = . Справедливость аксиом метрики (за исключением неравенства треугольника) очевидна. Неравенство треугольника вытекает из неравенства Минковского для сумм (см. приложение). Введенная таким образом метрика на Rn называется евклидовой.
Пример 7. В пространстве непрерывных функций C[a, b] на отрезке [a, b] введем метрику d(x, y) = max |x(t) – y(t)|, где максимум берется по t [a, b]. Эта метрика называется метрикой Чебышева. Справедливость аксиом метрики практически очевидна.
Пример 8. Сk[a, b] – метрическое пространство всех непрерывных функций на [a, b], имеющих непрерывные производные до порядка k, с метрикой, определённой по формуле
d(x, y)= .
Справедливость аксиом метрики очевидна.
Пример 9. M[a, b] – пространство ограниченных вещественных функций x(t) заданных на отрезке [a, b] с метрикой d(x, y) = . Ясно, что C[a, b] M[a, b]. Справедливость аксиом метрики очевидна.
Пример 10. lp (1 р < ) – пространство всех числовых последовательностей х = {xk}, для которых сходится ряд . Метрика в этом случае определяется так:
d(x, y) = < .
Выполнение двух первых аксиом очевидно. Неравенство треугольника вытекает из неравенства Минковского (см. приложение).
Пример 11. l = m - пространство ограниченных числовых последовательностей с метрикой
d(х, у) = sup|xk - yk|
Справедливость аксиом метрики очевидна.
Пример 12. с0 - пространство сходящихся к нулю последовательностей с той же метрикой, что и в m.
Пример 13. Для произвольного множества Х определим метрику
Справедливость аксиом метрики очевидна. Рассмотренное пространство называется дискретным метрическим пространством.
Пример 14. s - пространство всех числовых последовательностей. Введем в s метрику соотношением:
Аксиомы 1 и 2 метрики очевидны , выполнение 3 аксиомы следует из возрастания функции t/(1+t) (проверьте!).
Определение 8. Обозначим через S(x0, r) = {x: d(x0,x) < r } - открытый шар, S[x0, r] = {x: d(x0,x) r} - замкнутый шар.
Пример 15. Пусть Х = R3 – трёхмерное евклидово пространство. Шар S(a, r) – это обычный шар радиуса r с центром в а = (а1, а2, а3).
Пример 16. Пусть Х = С[а, b] , тогда шар (a, r) в пространстве С[а, b] – это совокупность функций x(t) графики которых не выходят из полосы шириной 2r, образованной кривыми x0(t) – r и x0(t) + r (рис.). Определение 9 (топология метрического пространства). Определим базу топологии в метрическом пространстве (X, d) полагая, что = {S(x, r): r > 0, x X}. Очевидно, что данное семейство удовлетворяет условиям теоремы 1 и порождает топологию в метрическом пространстве. |
|
Отметим следующее свойство расстояний, которые можно называть “неравенством четырёхугольника”: для любых четырёх точек x, y, z, u метрического пространства
|d(x, y) - d(z, u)| d(x, z) + d(y, u).
Геометрически это означает, что разность двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других сторон.
Доказательство вытекает из неравенств
d(x, y) d(x, z)+d(z, u)+d(u, y),
d(z, u) d(z, x)+d(x, y)+d(y, u),
если из первого вычесть d(z, u), а из второго d(x, y). При y = u неравенство четырёхугольника обращается во второе неравенство треугольника
|d(x, y) - d(y, z)| d(x, z),
которое также часто применяется.