4. Предельный переход под знаком интеграла

Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве E задана последовательность измеримых функций

f₁(x), f₂(x), f₃(x),  , f_n(x), 

которая в каком-нибудь смысле (всюду, почти всюду, по мере) схо­дится к измеримой функции F(x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение

= (3)

Если (3) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции f_n(x) определены на отрезке [0, 1] следующим образом:

то при всяком x  [0, 1] будет f_n(x) = 0, но = 1, и этот интеграл не стремится к нулю.

Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию f_n(x), чтобы равенство (3) все же имело место.

Теорема 13 (Лебега о монотонной сходимости). Пусть на измеримом множестве Е за­дана последовательность f₁(x), f₂(x), f₃(x),  неотрицательных измеримых функций, монотонно сходящаяся к измеримой функции F(х): f_n(x) F(х). Тогда справедливо равенство

=

Доказательство. В силу монотонности интеграла существует конечный или бесконечный предел

I = .

Из неравенства f_n(x)  F(х) на множестве Е вытекает, что I  . Докажем обратное неравенство.

Пусть простая неотрицательная измеримая функция h выбрана так, что h  F(х) на множестве Е. Возьмем произвольное число 0 <  < 1 и определим множества Е_i = {x  E: h(x)  f_i(x)}. Тогда E_i  E_{i + 1} и . Отсюда следует неравенство

I.

Обозначим Е₀ = , тогда справедливо представление . В силу свойства счетной аддитивности интеграла (теорема 12)

.

Следовательно, переходя к пределу в доказанном выше неравенстве I вначале при i  , а затем при   1, получим неравенство I. Отсюда по теореме 9 имеем неравенство I, что и доказывает теорему.

Лемма 4 (Фату). Пусть на измеримом множестве Е за­дана последовательность f₁(x), f₂(x), f₃(x),  измеримых неотрицательных функций, имеющая нижний предел . Тогда

.

Доказательство. Определим функции на множестве Е. Функции g_k(x) являются неотрицательными, измеримыми и монотонно сходятся к f (x) на Е. По теореме о монотонной сходимости

= .

Из неравенства при всех i  k вытекает

.

Отсюда, переходя к пределу при k  , получим

.

Таким образом, неравенство доказано.

Теорема 14 (Лебега о мажорантной сходимости). Пусть на измеримом множестве Е за­дана последовательность f₁(x), f₂(x), f₃(x),  измеримых функций, сходящаяся п.в. к измеримой функции F(х). Если существует интегрируемая функция g(x), такая, что при всех п и при всех х выполняется неравенство  g(x), то функция F(х) интегрируема на Е и справедливо равенство

=

Доказательство. Прежде всего заметим, что почти для всех х  Е будет  g(x), а следовательно, F₊(х)  g(x) и (–F_–(х))  g(x), что по определению 3 и теореме 12 влечет интегрируемость F(х).

Так как g(x)  f_i(x)  0 на множестве Е, то применяя лемму Фату и теорему 12, имеем

,

.

Мы здесь воспользовались тем, что g(x)  f_i(x)  g(x)  F(х) и тем, что верхний и нижний предел обладают следующим свойством:

,

,

в предположении существования предела . Используя свойства линейности интеграла, приходим к неравенствам

.

Последние неравенства, в силу свойств нижнего, верхнего и обычного предела, доказывают теорему.