4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере

Рассмотрим вопрос о сравнении приведенных сходимостей последовательностей измеримых функций. Приведем пример.

Пример 1. Пусть последовательность функций f_n(x) на числовой прямой задана равенством: . Нетрудно видеть, что эта последовательность всюду сходится к единичной функции. Вместе с тем {x  R: |1 – f_n(x)| = _{(-, -n)(n, +)} > ½} =  и последовательность f_n(x) не сходится по мере к единичной функции.

Таким образом, в общем случае из сходимости почти всюду не вытекает сходимость по мере. Однако критерий сходимости почти всюду позволяет легко установить следующую теорему.

Теорема 7 (Лебега). Если (Х) <  и последователь­ность функций f_n(x)  f(x) почти всюду на X, то f_n(x)  f(x).

Может возникнуть вопрос: не эквивалентны ли понятия сходимости функциональных последовательностей по мере и по­чти всюду на множествах конечной меры? Следующий пример дает отрицательный ответ на этот вопрос.

Пример 2 (Рисса). Существует последова­тельность, сходящаяся по мере на отрезке [0, 1], но не схо­дящаяся почти всюду.

Для n = 0, 1,... и k = 0, 1,.. .2ⁿ – 1 положим

.

Геометрически эта последовательность строится по пачкам (по различным n).

Следующая 4 пачка будет состоять уже из 8 функций, которые будут принимать значения 1 на отрезках длины 1/2³. Вообще n-ая пачка будет состоять 2^{n – 1} функций, которые равны 1 на отрезке длины 1/2^{n – 1}, а в остальных точках они нули. Ясно, что для любого  > 0 (будем еще считать, что  < 1) и любой функции g_n(x) из n-ой пачки выполняется равенство {x  [0, 1]: |g_n(x)| > } = 1/2^{n – 1}. Это означает, что построенная последовательность функций сходится по мере к нулевой функции. Вместе с тем данная последовательность не сходится к 0 ни в одной точке. Действительно, не трудно видеть, что для любой точки х₀ [0, 1] в каждой пачке найдется функция, которая в этой точке обращается в 1.

Теорема 8 (теорема Рисса). Пусть (X, , ) –пространство с -конечной мерой и последователь­ность f_n(x)  f(x) на X. Тогда существует такая возра­стающая последовательность натуральных чисел {n_k}, что  f(x) при п   почти всюду на X.

Доказательство. Сначала предположим, что (Х) < . Возьмем n₀ = 1 и для k = 1, 2,... выберем натуральное п_k > п_{k - 1} так, чтобы

.

В силу сходимости по мере такая последовательность индексов найдется.

Докажем, что последовательность  f(x) почти всю­ду на X. Действительно, если заданы  > 0 и  > 0, то подберем m₀ так, чтобы и . Тогда при т>т₀ имеем

Применяя теорему 3, убеждаемся в справедливости доказы­ваемого утверждения в случае конечной меры.

Пусть теперь мера -конечна на X, т. е. X = где (X_n) <  при n = 1, 2,... Поскольку f_n(x)  f(x) на X, для любого i последовательность f_n(x)  f(x) на X_i. Со­гласно уже доказанному, можно выделить подпоследователь­ность f_1,n(1)  f(x) почти всюду на X₁. Поскольку эта под­последовательность по-прежнему сходится по мере на лю­бом X_i., из нее, в свою очередь, можно выделить подпоследо­вательность f_2,n(2)  f(x) почти всюду на X₂. Продолжая этот процесс дальше, и рассматривая диагональную последователь­ность { f_k,n(k) }_k=1^, видим, что для любого i эта последова­тельность сходится почти всюду на X_i., т. е. почти всюду на X, что и требовалось доказать.