5. Внешняя мера

Определение 21. Пусть X – произвольное множество. Внешней мерой в X называется вещественная неотрицательная функция *, заданная на совокупности всех подмно­жеств множества X и удовлетворяющая следующим свойствам:

1. *() = 0;

2. Если Е  E_n, где совокупность множеств Е_n  X не более чем счетна, то (счетная полуаддитивность внешней меры).

Теорема 8. Пусть m – мера в X, заданная на полукольце  и пусть * – некоторая функция, определенная для  Е  X по следующему правилу:

1. Если для Е существует не более чем счетное покрытие из полукольца , т.е. Е  А_n, где А_n   (n = 1, 2,...), то *(Е) = inf{ m(A_n)}, где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям указанного типа.

2. В противном случае *(E) = +.

Тогда * - внешняя мера в X, причем *(А) = m(А) для А  .

Доказательство. Сразу отметим, что для А   выполняется равенство *(А) = m(А). Действительно, если А  А_n, где А_n   (n = 1, 2,...), то по теореме 6 m(A)  m(A_n). Следовательно, inf из определения * достигается на покрытии, состоящем из одного множества, а именно самого А. Из полученного равенства сразу следует первое свойство внешней меры.

Если хотя бы для одного n выполняется равенство *(Е_n) = +, то второе свойство внешней меры очевидно. Пусть *(E_n) < + для всех n. Тогда для произвольного  > 0 найдутся покрытие Е_n  B_kn множествами В_kn из полукольца  такие, что *(Е_n)  . Так как Е  E_n, а Е_n  B_kn, то Е  B_kn. Следовательно

*(Е)  m(B_kn)  (*(E_n) + /2ⁿ) = *(E_n) + .

В силу произвольности  второе свойство из определения внешней меры доказано.

Определение 22. Будем говорить, что внешняя мера *, построенная в этой теореме, порождена мерой m.

6. Измеримые множества

Пусть Х – фиксированное множество, на котором задана внешняя мера *.

Определение 23. Пусть А, Е  Х. Множество А хорошо разбивает множество Е, если

*(Е) = *(ЕА) + *(ЕА^С) (2)

Определение 24. Назовем множество А  X *-измеримым, если оно хорошо разбивает любое множество Е  X.

Сужение внешней меры * на совокупность всех *-измеримых множеств обозначим через .

Заметим, что в силу полуаддитивности внешней меры для любого Е  Х выполняется неравенство:

*(Е)  *(ЕА) + *(ЕА^С).

Поэтому для доказательства измеримости данного множества А достаточно проверить справедливость лишь противоположного не­равенства. Отметим также, что если *(Е) =  это неравенство выполняется автоматически и достаточно его проверять на множествах Е, для которых *(Е) < .

Теорема 9а. Система  всех * -измеримых множеств в X – алгебра.

Доказательство. Достаточно очевидно, что Х: *(E) = *(EX) + *(E). Поэтому необходимо проверить лишь условия кольца. С другой стороны из симметричности определения измеримого множества вытекает, что множество А и его дополнение А^С являются измеримыми одновременно.

Пусть теперь А, В . Для любого множества Е  Х справедлива следующая цепочка равенств:

*(Е(АВ)) + *(Е(АВ)^С) = *((Е(АВ))А) +*((Е(АВ))А^С) + *(ЕА^СВ^С) =

= *(ЕА) +*(ЕВА^С) + *(ЕА^СВ^С) = *(ЕА) +*(ЕА^С) = *(Е).

(первое равенство получено в силу измеримости множества А – добавили к фиксированному множеству (Е(АВ)); второе равенство – использование свойств операций над множествами; третье равенство – объединение второго и третьего слагаемого и использование измеримости В; последнее – измеримость множества А).

Таким образом, показана замкнутость  относительно операции конечного объединения. Отсюда, отмеченного выше факта о замкнутости  относительно операции дополнения и теорем двойственности де Моргана вытекает замкнутость  относительно пересечения множеств.

Так как А\В = АВ^С, то  является алгеброй.

Теорема 9б. Функция  - аддитивна на .

Доказательство. Пусть В, С   и А = В + С. В силу измеримости В справедливо равенство:

*(А) = *(АВ) + *(АВ^С) = *(В) + *(С).

Последнее равенство вытекает из простых множественных равенств: АВ = В, АВ^С = С.

Теорема 9в. Система  всех * -измеримых множеств в X – -алгебра.

Доказательство. Пусть А = , где А_k  . Нам необходимо показать, что А, т.е. выполняется равенство *Е = *(ЕА) + *(ЕА^С) для любого Е  Х. Построим систему множеств из  следующим образом: С₁ = А₁, С₂ = А₂\А₁, …, C_n = A_n\ , … Из построения ясно, что С_n и А = . Введем множество В_n = . Справедливы равенства:

*(EB_n) = *(EB_nC₁) + *(E B_nC₁^C) = *(EC₁) + *(E ) =

= *(EC₁) + *(E C₂) + *(E C₂^C) =

= *(EC₁) + *(EC₂) + *(E ) = … = .

Далее

*(Е) = *(EB_n) + *(EB_n^С) = + *(EB_n^С)  + *(EА^С).

Последнее неравенство получено в силу монотонности внешней меры и вложения А^С  B_n^С. Последнее неравенство верно для любого n. Переходя в нем к пределу по n, получим неравенство:

*(Е)  + *(EА^С).

Воспользуемся теперь счетной полуаддивностью внешней меры:

 = *(ЕА).

Тогда *(Е)  *(ЕА) + *(EА^С), что с учетом замечания, сделанного после определения измеримого множества, доказывает измеримость А.

Теорема 9г. Функция  – мера на .

Доказательство. Пусть А, А_k  и А = . В силу доказанной конечной аддитивности функции , справедливо равенство . Так как  А, то

.

Предельным переходом по n отсюда получаем неравенство . Если теперь вспомнить, что внешняя мера обладает свойством счетной полуаддитивности, т.е. , то получаем необходимое равенство.

Объединяя теоремы 9а, 9б, 9в и 9г, получаем.

Теорема 9. Система  всех * -измеримых множеств в X – -алгебра, а  – мера на .

Определение 25. Будем говорить, что мера , построенная в этой теореме, порождена внешней мерой *.

Теорема 10 Пусть m – мера в X, заданная на полукольце , * – внешняя мера, поро­жденная мерой m,  – мера, порожденная внешней мерой *, тогда  – продолжение m на -алгебру  *-измеримых множеств, т.е.    и m(А) = (А) для А .

Доказательство. Равенство m(А) = (А) для всех А  по существу установлено в теореме 8. Требуется проверить, что любое А  удовлетворяет равенству (2).

Пусть Е  Х, *(Е) <  и по определению внешней меры, порожденной m для произвольного  > 0 найдено покрытие А_k такое, что Е  A_k и *(Е) > m(A_k) – . Так как ЕА  (A_kА) и ЕА^С  (A_kА^С), то по определению внешней меры

*(ЕА)  m(A_kА) и *(ЕА^С)  m(A_kА^С).

Следовательно

*(Е) > m(A_k) –  = m(A_kА + А_kA^C) –  =

= m(A_kА) + m(А_kA^C) –   *(ЕА) + *(ЕА^С) – .

В силу произвольности , отсюда следует неравенство *(Е)  *(ЕА) + *(ЕА^С), которое доказывает утверждение.

Определение 26. В дальнейшем, полученную таким образом меру , будем называть стандартным продолжением меры m или продолжением по Каратеодори.

Определение 27. * -измеримое множество будем называть так же измеримым.

Теорема 11. Пусть  – стандартное продолжение на -алгебру  меры m с полукольца  в X. Если В  X и для   > 0  A : В A и (А) < , то В  и (В) = 0.

Доказательство. В силу стандартности продолжения  найдется покрытие А (а значит и В) множествами из полукольца А_k такое, что *(А) = (А)  _km(A_k) < 2. Последнее означает, что *(В) = 0. Тогда для произвольного множества Е  Х выполняется вложение ЕВ  В и в силу монотонности внешней меры *(ЕВ)  *(В) = 0, т.е. *(ЕВ) = 0. Аналогично, ЕВ^С  Е и *(Е)  *(ЕВ^С) = *(ЕВ^С) + *(ЕВ). Последнее неравенство показывает измеримость В и так как (В) = *(В) = 0, то утверждение доказано.

Последняя теорема показывает, что стандартное распространение меры является полной мерой.

Теорема 12. (об измеримой оболочке). Пусть  - стандартное продолжение на -алгебру  меры m с полукольца  в X. Если В  X, то найдется такое множество А что В  А и *(В) = (А).

Доказательство. В случае, если *(В) = , в качестве А можно взять все Х. Пусть *(В) < . По определению внешней меры (теорема 8) найдутся такие множества B_ij, что

, .

Поэтому множество будут измеримыми. В силу свойства монотонности и счетной полуаддитивности внешней меры

при всех i = 1, 2,… Перейдя к пределу в последнем неравенстве при i , получим неравенство (А)  *(В). Так по построению В  А, то это неравенство доказывает теорему.

Множество А в данной теореме обладает двумя свойствами:

1) А такое, что В  А и *(В) = (А);

2)

Множества, обладающие этими свойствами называются измеримой оболочкой для множества В.