Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах

1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.

Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных классов отображений является класс линейных операторов, определенных в линейных пространствах. Среди них находятся многие операторы алгебры и анализа.

Определение 1. Пусть X и Y – линейные нормированные пространства. Отображение А, действующее из X в Y , называется линейным оператором, если выполняются условия:

1) оператор аддитивен, т.е. А(х₁+х₂) = Ах₁+Ах₂ для любых х₁ и х₂ из Х;

2) оператор является однородным, т.е. Ах = Ax, для любого вещественного (комплексного числа) .

Определение 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным в точке х₀, если из сходимости x_n  x₀ вытекает сходимость Ax_n  Ax₀. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Х.

Лемма 1. Если линейный оператор А, действующий из Х в Y, непрерывен в точке х₀, то он непрерывен.

Доказательство. Покажем, что оператор А непрерывен в любой точке y₀. Пусть у_ny₀. Тогда y_n – y₀ + x₀  x₀. В силу непрерывности в точке х₀ вытекает сходимость А(y_n – y₀ + x₀)  Ах₀ или (в силу линейности оператора А) Аy_n – Ay₀ + Ax₀  Ax₀. Последнее эквивалентно сходимости Аy_n  Ay₀.

Определение 3. Линейный оператор А, действующий из Х в Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что ||Аx|Y||  Р||x|X|| для всех хХ.

Заметим, что из контекста, как правило, видно в каком пространстве вычисляется норма, и часто мы будем опускать указание этого пространства.

Теорема 1. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Доказательство. Пусть оператор А непрерывен, а множество М  Х ограниченное. Покажем, что множество А(М) также ограниченное. Ограниченность множества М означает, что существует такое число d, для которого нормы всех точек из М не превосходят d. Пусть напротив множество А(М) не является ограниченным. Это означает, что для любого натурального n существует точка х_nМ такая, что ||А(х_n)|| > n. Рассмотрим точки y_n = х_n/n. Тогда ||y_n|| = ||х_n/n|| = ||х_n||/n  d/n  0, т.е. y_n 0. Но при этом ||А(y_n)|| = ||А(х_n/n)|| = ||А(х_n)||/n > 1, т.е. неверно, что А(y_n)  0, что противоречит непрерывности оператора А. Итак, множество А(М) ограничено.

В частности, оператор А переводит единичный шар ||x||  1 пространства Х в ограниченное множество в Y. Пусть для точек из этого шара ||Аx||  Р. Рассмотрим произвольный вектор x  0 и построим элемент х/||x||. Тогда ||(x/||x||)|| = 1. Отсюда ||Аx||/||x|| = ||(Аx/||x||)|| = ||А(x/||x||)||  Р, т.е. ||Аx||  Р||x|| при x  0. Для нулевого вектора это неравенство очевидно.

Пусть оператор А ограниченный. При любых x, y выполняется неравенство ||Аx  Аy|| = ||А(x  y)||  Р||x  y||, откуда из условия x_nx₀ следует, что Аx_n  Аx₀. Тем самым оператор непрерывный.

Пример 1. Оператор, который каждому вектору пространства X ставит в соответствие нулевой вектор этого пространства, очевидно, является линейным. Он называется нулевым оператором.

Пример 2. Оператор I, ставящий в соответствие каждому вектору х сам вектор х, очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Пример 3. Линейный оператор А, переводящий каждый вектор х в λх (λ – фиксированное число), называется оператором подобия.

Пример 4. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство и e₁, e₂,…, e_n, … – полная ортонормированная система в Н. Фиксируем ограниченную последовательность вещественных чисел λ ₁, λ ₂,…, λ_n , и для любого вектора

х = ,

положим по определению (оператор нормального типа)

А х = .

Так как , то оператор Ах определен во всем пространстве Н. Легко проверить его аддитивность и однородность, а непрерывность легко следует из неравенства

Каждый базисный вектор e_n переводится оператором А в себя самого с коэффициентом λ_n: А e_n = λ_n e_n .

Пример 5. На отрезке [a, b] фиксируем непрерывную функцию α(x). В пространстве С[a,b] определен линейный оператор умножения на α(x): .

Пример 6. Пусть Х = R_n, Y = R_m. Каждому элементу х={ξ₁, ξ₂, ... , ξ_n} R_n с помощью матрицы (а_ij), i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , n ставим в соответствие элемент у={ ₁, ₂, ... , _m} R_m , полагая

, i=1, 2, ... , m.

Тем самым задан оператор А: у = Ах, определенный на R_n, со значениями в R_m. В этом случае также говорят, что оператор А задается матрицей (а_ij), i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ... , n. Линейность оператора А устанавливалась в курсе линейной алгебры.

Если y_k=Ax_k, y₀=Ax₀, то → для всех j = 1, 2, ..., n и, следовательно,

, i = 1, 2, ... , m

Но это означает, что, y_k = Ax_k y₀ = Ax₀ и оператор A непрерывен.

Пример 7. Пусть Х = Y = С[а, b]. Для произвольной функции , положим

(1)

где K(t, s)– непрерывная в квадрате функция. Равенство (1) определяет оператор у = Ах, действующий в С[а, b], который называют интегральным оператором . Аддитивность и однородность оператора практически очевидны. Например:

Непрерывность его вытекает из того, что сходимость в пространстве С[а, b] есть равномерная сходимость, при которой возможен переход к пределу под знаком интеграла. Поэтому если x_n(t)→x₀(t) , то

Пример 8. Пусть Х = Y = L₂[а, b]. Снова рассмотрим интегральный оператор

Но теперь будем предполагать, что функция K(t, s), называемая ядром оператора, интегрируема по Лебегу в квадрате по совокупности обеих переменных:

Покажем, что оператор А действует в пространстве L₂[а, b]. Из условий k² = и следует, что К(t, s)x(s), как функция от и t и s, интегрируема на . Но тогда в силу теоремы Фубини

есть измеримая и интегрируемая функция, и неравенство Гельдера дает

,

т. е. что . Предыдущее выражение после извлечения из него квадратного корня можно записать в виде

. (2)

Линейность оператора А очевидна, а ограниченность и непрерывность легко следует из неравенства (2).

Пример 9. Пусть Х = Y = l₂ и (а_ij), i, j = 1, 2, .,., – бесконечная матрица такая, что

. (3)

Рассмотрим оператор А, определяемый следующим формальным равенством: для х ={ξ_i} положим

, i=1, 2, ... , и Аx = y = { }.

Прежде всего линейность оператора А очевидна. Далее, из неравенства Гельдера следует, что ряд абсолютно сходится, так как

,

т е. частичные суммы ряда ограничены. Далее,

,

и так как это верно для любого натурального n, то , т.е. .

Если извлечь из неравенства

квадратный корень, то получим . Следовательно, оператор А ограничен.

Лемма 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, является ограниченным, если он ограничен хотя бы на одном шаре пространства Х.

Доказательство. Так как ограниченность на открытом шаре влечет ограниченность на замкнутом шаре с тем же центром и половинным радиусом, будем сразу считать, что оператор ограничен на замкнутом шаре. Пусть S[y, r] – шар, на котором ограничен оператор А, т.е. ||Ax||  C для всех x S[y, r]. Возьмем произвольный элемент z X. Построим по этому элементу новый элемент z₀ = y + rz/||z|| (или z = ||z||(z₀ – y)/r). Непосредственным подсчетом убеждаемся, что z₀  S[y, r]. Следовательно, ||Az₀||  C. С другой стороны, ||Az|| = ||z||/r(||A(z₀ – y)||)  ||z||/r(||Az₀|| + ||Ay||)  (2C/r)||z||, что доказывает утверждение.

Важнейшим свойством линейного оператора является его ограниченность на S₁ – единичном шаре пространства X. Она влечет в силу леммы 2 ограниченность линейного оператора.

Положим

. (4)

Число К₀, определяемое равенством (4), называют нормой оператора и обозначают ||А||. В следующем пункте мы покажем, что это действительно норма. Итак, для любого

.

Очевидно, что К₀ = ||A|| есть наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству из определения ограниченности, потому что если бы это было не так и нашлось число К' < К₀ такое, что для всех , то для мы имели бы , откуда , что невозможно.

Лемма 3. Пусть линейный оператор А, действующий из Х в Y, является ограниченным на шаре S[y, r], т.е. ||Ax||  C для всех x S[y, r]. Тогда ||A||  2C/r.

Утверждение установлено по существу по ходу доказательства леммы 2.

Вычисление норм конкретных операторов обычно представляется затруднительным, однако часто бывает довольно легко оценить норму оператора сверху.

Пример 10. Рассмотрим в пространстве C[a, b] интегральный оператор из примера 7. Пусть Имеем для :

Отсюда , и мы оценили норму интегрального оператора в пространстве С[а, b].

Пример 11. Рассмотрим в том же пространстве С[а, b] оператор Вх = tx(t), называемый оператором умножения, на независимую переменную. Для простоты вычислений будем считать, что 0 < a < b. Для любой функции х(t) С[а, b], имеем

(5)

Отсюда . Но если мы возьмем функцию , то , и потому

(6)

Из неравенств (5) и (6) вытекает, что ||В|| = b.

Пример 12. Норма нулевого оператора, очевидно, равна нулю. Обратно, если , то нетрудно видеть, что A=0.

Пример 13. Норма тождественного оператора I равна единице, так как, ||Ix|| = ||x|| для любого вектора х.

Пример 14. Норма оператора подобия равна .

Пример 15. Норма оператора нормального типа в гильбертовом пространстве

равна точной верхней грани чисел . Действительно, если и , мы имеем

откуда ; с другой стороны , полученные неравенства и доказывают наше утверждение.