Глава 1 топологические пространства

1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества

Понятие множества изучалось студентами в курсе математического анализа. Здесь мы напомним основные понятия и термины из этой теории.

Понятие множества является настолько общим, что затруднительно дать для него формальное определение (т.е. сведение его к другим понятиям, более простым и более ясным).

Мы будем рассматривать множества чисел, множества точек, множество линий, множества функций и т.д. Множества будем обозначать большими буквами: A, B, M, N и т.д. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества, будем обозначать их малыми буквами. Запись (или ) означает, что a есть элемент множества A; запись означает, что a не является элементом множества A. Запись (или ) означает, что каждый элемент множества A является элементом множества B; в этом случае множество A называют подмножеством множества B. Если имеют место включения , В  А, то это означает, что множества A и B состоят из одних и тех же элементов и, значит, совпадают друг с другом. Этот факт записывается равенством A = B. Существует одно специальное множество, так называемое пустое множество, которое не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом .

Рассмотрим простейшие операции, которые можно производить над множествами: объединение, пересечение и дополнение.

Пусть дано семейство множеств {A_}_, где индекс  пробегает некоторое множество Т. Рассмотрим совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A_. Эта совокупность есть новое множество, которое и называют объединением множеств A_ и обозначается .Отметим, что если какой либо элемент входит в несколько множеств, то в объединение этих множеств он включается только один раз. В соответствии с аксиомами теории множеств пустое множество является подмножеством любого множества.

Пусть снова дана совокупность множеств {A_}_Т. Множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из указанных множеств, называется пересечением множеств и обозначается .

В случае, если для   , ,  Т выполняется равенство А_А_ = , то объединение называется дизъюнктным и обозначается .

Из определения объединения и пересечения множеств видно, что эти операции обладают свойством коммутативности и ассоциативности. Легко показать также, что имеет место следующий закон дистрибутивности =  .

Пусть даны множества A и B. Элементы множества A, не принадлежащие B, образуют множество, называемое разностью множеств A и B и обозначаемое A - B или A\B. Нетрудно видеть, что A\B=A\ .

Введём ещё одно понятие. Если B есть подмножество A, то разность A\B называют дополнением множества B до множества A. Отметим очевидную формулу: если , то . Заметим, что для двух произвольных множеств A и B эта формула вообще неверна.

Из более сложных формул отметим следующие, которые часто будут встречаться.

Теорема (принцип двойственности). Пусть дана система множеств А_α и множество Ω, причём А_{α .} Тогда

_( - А_) =  - (_А_);

_( - А_) =  - (_А_).

Отображением φ множества M₁ в множество M₂ (обозначение φ: M₁M₂) называется такой закон φ, при котором каждому элементу xM₁ поставлен в соответствие один и только один элемент yM₂, обозначаемый через φ(x) и называемый образом элемента x при отображении φ.

Совокупность всех тех элементов aM₁, образом которых является данный элемент bM₂, называется прообразом элемента b при отображении φ:M₁M₂ и обозначается через φ^-1(b). Таким образом, φ^-1(b) = {aM₁: (a) = b}.

Пусть A - некоторое подмножество из M₁; совокупность {φ(a): aA} всех элементов вида φ(a), где aA, называется образом A и обозначается φ(A). В свою очередь, для каждого множества B M₂, определяется его полный прообраз φ^-1(B), как совокупность всех тех элементов из M₁, образы которых принадлежат B, т.е. φ^-1(B) = {aM₁: (a)  В}

Напомним, что отображение φ множества M₁ в множество M₂ называется сюръекцией, если φ(M₁) = M₂.

Если для любых двух различных элементов x₁ и x₂ из M₁ их образы y₁ = φ(x₁) и y₂ = φ(x₂) также различны, то φ называется инъекцией. Отображение φ: M₁ M₂, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или взаимно однозначным соответствием между M₁ и M₂.

Имеют место следующие основные свойства отображений:

Теорема о прообразах. Прообраз объединения или пересечения двух множеств равен объединению или пересечению их прообразов соответственно:

φ^-1(A B)= φ^-1(A) φ^-1(B),

φ^-1(A B)= φ^-1(A) φ^-1(B).

Теорема об образах. Образ объединения двух множеств равен объединению их образов:

φ(A B)= φ(A) φ(B).

Заметим, что образ пересечения двух множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.

Отображение I_M: MM называется тождественным (или единичным) отображением множества M, если I_M(x) = x,  xM.

Пусть даны отображения φ: M₁ M₂ и ψ: M₂M₃, тогда можно определить композицию отображений φ и ψ, как отображение ψ φ: M₁M₃, определяемое формулой (ψ φ)(x) = ψ(φ(x)) , xM₁.

Отображение φ: M₁ M₂ называется обратимым, если существует такое отображение ψ:M₂ M₁, что имеют место следующие соотношения:

φ ψ = I_M2

ψ φ = I_M1

В этом случае отображение ψ называется обратным к отображению φ и обозначается через φ^-1 .

Теорема о единственности обратного. Если отображение φ: М₁→М₂ обратимо, то обратное отображение φ^-1 единственно.

Имеет место следующий критерий обратимости отображения.

Теорема о существовании обратного. Отображение φ: М₁→М₂ обратимо тогда и только тогда, когда φ – биективно.

В этом случае обратное отображение φ^-1: М₂→М₁ определяется (однозначно) следующим образом: образом элемента у М₂ при отображении φ ^-1 будет такой элемент х М₁, который при отображении φ переходит в элемент у. Иными словами: φ^-1(у) = х  φ(х) = у.