![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
4. Ортогональность и ортогональное дополнение
Элемент х
называется
ортогональным
подпространству
,
если х
ортогонален
любому элементу
В этом случае записывают
.
Имеет место следующая весьма важная теорема.
Теорема 9. Если
и
L
– некоторое подпространство гильбертова
пространства H,
то
(4),
где
и
Указанное разложение единственно.
Доказательство.
Если
,
то, очевидно
Предположим поэтому, что
Пусть
и {yn}
–
последовательность из L
такая, что
при
.
Пусть далее, h
– любой элемент из L,
отличный от нулевого вектора. Тогда yn+
εh
L для любого
ε,
и поэтому
,
т.е.
.
Полагая
получаем, что
,
откуда
или
(5).
При h
= 0, неравенство (5) также очевидно
выполняется. Из этого неравенства для
любого
следует
,
и полагая, в
частности,
получим
Поэтому
последовательность {yn}
фундаментальна,
а значит, в силу полноты H,
сходится к некоторому вектору
.
Так как L
замкнуто, то
Переходя к пределу
в неравенстве (5), получаем, что
,
и так как h
– любой элемент из подпространства L,
то
.
Полагая
,
получаем требуемое равенство
.
Докажем теперь
единственность этого представления.
Пусть
,
,
где
. Тогда
и
,
(6)
ибо
,
а
.
Но (6) означает, что
.
Следовательно, также
.
Теорема доказана.
Элемент y
в разложении (4) называется проекцией
вектора x
на подпространство L.
Из предыдущего видно, что совокупность
M
всех векторов, ортогональных подпространству
L
есть также подпространство, которое
называется ортогональным
дополнением
к подпространству
L
и обозначается H
- L; говорят
также, что H
есть ортогональная
сумма
подпространств
L
и M,
и пишут H =
LM.
Можно, также, сказать, что элемент z
предыдущего разложения есть проекция
элемента x
на подпространство M.
Теорема дает, таким образом, разложение на два взаимно дополнительных ортогональных подпространства.
Теорема 9. Для того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно в Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало вектора, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам многообразия М.
Необходимость.
Прежде всего очевидно, что из
следует
.
Но по условию
и, следовательно,
,
в частности
,
откуда следует, что
,
и необходимость доказана.
Достаточность.
Пусть М
не всюду плотно в Н.
Тогда
и
существует элемент
.
По предыдущей теореме имеем
,
где
,
,
и так как
,
то
;
что противоречит условию, и достаточность
доказана.
5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
Пусть L
– подпространство
гильбертового пространства Н,
порожденное ортонормальной системой
и
.
Тогда, для любого
существует, линейная комбинация
,
такая, что
.
Но
,
где
.
Числа сi
называются коэффициентами
Фурье вектора
x
относительно ортонормальной системы
.
Из последнего равенства получаем
.
Отсюда следует,
что норма разности
принимает наименьшее значение, когда
коэффициенты
являются коэффициентами Фурье элемента
относительно системы
.
В этом случае имеем
, (7)
и так как
можно выбрать сколь угодно малым, то
Из формулы (7)
следует также, что ряд
сходится причём
.
Пусть теперь x
– любой элемент пространства H.
Обозначим через z
проекцию x
на L;
тогда
,
где
и
.
Так как
,
,
,
то
.
Следовательно, для любого элемента x
из H
справедливо неравенство
,
где
,
.
Это соотношение называется неравенством
Бесселя.
Пусть в пространстве H дана ортонормальная система элементов . Если не существует элемента , отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы , то эта система называется полной. Ортонормальная система называется замкнутой, если подпространство L, порождаемое этой системой, совпадает с H. Ряд Фурье по замкнутой системе, построенной для любого , сходится к этому элементу и для любого имеет место равенство Парсеваля
Замкнутая ортонормальная система называется также ортонормальным базисом гильбертова пространства.
Если ортонормальная
система полная, то она замкнутая.
Поскольку, в этом случае не существует
вектора отличного от нулевого и
ортогонального линейному многообразию
L,
порождаемому системой. Но тогда в силу
теоремы 9
и система замкнутая.
Обратно, замкнутая ортонормальная система полна, так как для такой системы
и если
,
т.е.
,
то
,
что означает полноту системы
.
Примером полной ортонормальной системы является система тригонометрических функций
в пространстве
.
Теорема 10. В любом сепарабельном гильбертовом пространстве существует полная ортонормальная система векторов.
Доказательство.
Пусть
– любое счётное всюду плотное множество
в пространстве H,
причём все
,
отличны от нулевого вектора. Полагаем
,
и пусть
-
одномерное пространство, порождённое
элементом
.
Пусть
– первый элемент множества G,
не принадлежащий
и
-
проекция
на
.
Полагаем
.
Пусть
-
подпространство, порождённое элементами
и
,
и
-
первый элемент множества G
не принадлежащий
.
Пусть
-
проекция
на
.
Полагаем
,
и т.д. Получаем
ортонормальную систему
и так как каждый элемент
принадлежит некоторому
в силу построения этих подпространств,
то подпространство, определяемое
системой
совпадает с подпространством определяемой
системой
,
т.е. с H.
При этом система
,
очевидно счётная, в случае когда, H
бесконечномерно, ибо если бы она содержала
конечное число p
векторов, то в H
не существовало бы p
+ 1 линейно
независимых векторов, что противоречит
бесконечномерности H.
Теорема доказана.
Задачи
1. Множество
в линейном пространстве
называется выпуклым множеством, если
оно вместе с любым двумя точками
содержит все точки
,
,
,
,
или, геометрически выражаясь, содержит отрезок, концами которого являются точки и . Доказать, что любой шар в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством.
2. Доказать, что неравенство треугольника в определении линейного нормированного пространства можно заменить условием выпуклости единичного шара.
3. На плоскости взято произвольное центрально-симметричное замкнутое выпуклое множество Q, у которого начало координат является внутренней точкой. Доказать, что существует норма, в которой Q является единичным шаром.
4. Доказать, что конечномерное подпространство нормированного пространства Е всегда замкнуто в Е.
5. Задает ли норму в пространстве R1 функция (х) = |arctgx|?
6. Установить
непосредственно эквивалентность
следующих норм в
-
мерном линейном нормированном пространстве
X:
,
.
Что будут представлять
собой единичные шары
и
в пространстве
с этими нормами.
7. Проверить аксиомы
нормированного пространства для
пространства матриц
размера
:
а)
,
б)
,
в)
.
8. Доказать, что пространство банахово в нормах предыдущего примера.
9. Доказать, что
(Использовать неравенство Минковского).
10. Является ли нормой в пространстве непрерывно-дифференцируе-мых функций C1[a, b] на отрезке [a, b] следующие величины:
a)
b) |x(b) – x(a)| +
c) |x(a)| +
d)
11. В множестве
непрерывных функций, определённых на
,
каждая из которых равна нулю вне
некоторого конечного интервала (своего
для каждой функции), вводится норма
.
Будет ли пространство этих функций
полно в метрике
?
Если нет, то что будет пополнением этого
пространства?
12. Является ли пространство C1[a, b] банаховым по норме
.
13. Доказать, что
пространство M[a,
b]
– ограниченных на отрезке [a,
b]
функций с нормой
является банаховым.
10. Найти
бесконечномерное линейное подпространство
L
такое, что
11. Показать, что
проекция
вектора
из гильбертова пространства H
на подпространство
есть элемент этого подпространства,
находящийся на кратчайшем расстоянии
от х,
т.е.
для любого
.
12. Известно, что в
некотором нормированном пространстве
Е
для любой пары векторов х
и у
справедлива лемма о параллелограмме
(т. е.
).
Рассмотрим функцию
.
Доказать,
что она удовлетворяет всем аксиомам
скалярного произведения и
.
13. В гильбертовом пространстве даны последовательности {xn},{yn} такие, что ||xn|| 1, ||yn|| 1 и (xn, yn)1. Докажите, что ||xn yn|| 0.
14. Докажите, что множество {x: ||x a|| = ||x b||} является выпуклым в гильбертовом пространстве. Верно ли это заключение для произвольного банахова пространства?
15. Пусть в банаховом пространстве Х множества А замкнутое, а B компактное. Докажите, что множество А+B замкнутое. При этом из замкнутости А и B не следует замкнутость А+B.
16. Докажите, что любое семейство замкнутых ограниченных выпуклых множеств в гильбертовом пространстве имеет непустое пересечение. Верно ли это для любого банахова пространства?
17. Пусть а[0, 1] и Сa={xС: x(а) = 0}. Докажите, что Сa подпространство С. Является ли оно всюду плотным? А если это множество рассматривать в пространстве L2?
18. Докажите, что
множество функций из С,
для которых
,
является бесконечномерным подпространством
в С.
19. Пусть В1 и В2 – шары в нормированном пространстве с радиусами соответственно r1 и r2. Доказать, что если В1 В2, то r1 r2.