6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении

В различных вопросах математики приходится рассматривать линейные, но не ограниченные операторы. Такие операторы, естественно, не будут непрерывными. Более того, они будут определены не на всем пространстве, а на некоторых всюду плотных линейных многообразиях рассматриваемого пространства. Приведем пример такого оператора. Пусть Х = У = С[а, b]. Рассмотрим оператор дифференцирования

Ясно, что этот оператор линеен. Однако он определен (имеет смысл) не на всем пространстве С[а, b], а лишь на подмножестве С[а, b], состоящем из функций, имеющих непрерывною производную. Это множество является, очевидно, линейным многообразием, и так как оно содержит все полиномы, то всюду плотно в С[a, b]. Легко убедиться, что оператор А на не является ограниченным. В самом деле, пусть х_n (t) = sin nt. Тогда , а

,

и потому .

Неогра­ниченный линейный оператор А не обладает свойством не­прерывности. Из того, что х_n  х₀. вообще говоря не следует, что {Aх_n} стремится к какому-либо пределу. Однако некоторые неограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством, отчасти заменяющим свойство непрерывности.

Определение 4. Прямой суммой Z =XY двух линейных пространств X и Y называется совокупность пар z = (х, у) (х  X, у  Y), для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если z₁ = ^:(x₁, y₁), a z₂ = (х₂,, y₂) и _1, ₂ — скаляры, то

₁z₁ + ₂z₂ = (₁x₁ + ₂x₂, ₁y₁ + ₂y₂)

Если X и Y – нормированные пространства, то норма в XY вводится по формуле ||z|| = ||x|X|| + ||y|Y|| (проверить аксиомы нормы. Показать, полноту XY, если X и Y банаховы).

Пусть у = F(x)—оператор (вообще говоря, нелинейный) с областью определения D(F) в банаховом пространстве X и с областью значений в банаховом пространстве У.

Определение 5. Графиком оператора F называется совокупность пар (х, F(x)), где х  D(F).

График опера­тора является подмножеством пространства XY. Определение графика оператора хорошо согласуется с определением графика функции. Пусть ниже F = А – линейный оператор.

Определение 6. Линейный оператор А: X Y называется замкну­тым, если его график является замкнутым множеством в XY.

Замкнутость графика оператора А означает, что если х_n  D(А) и (х_п, Ах_п)  (х, у), то х  D(A) и у = Aх.

Так как ||z|| = ||х|| + ||у||, то определение замкнутости оператора А можно записать так: если х_п  D(A), х_n  х, а Ах_п  у, то х  D(A) и у = Ах.

Теорема 8. Если D(A) = X и А ограничен (т.е. А L(Х, Y)), то А замкнут.

Доказательство. Пусть х_п  х и Aх_n  у при n  . Из непрерывности оператора A вытекает, что Ах_п  Ах, n  . Но предел единственен и, значит, у = Aх.

Теорема 9. Если А замкнут и А^-1 существует, то A^-1 также за­мкнут.

Доказательство. Рассмотрим графики операторов А и A^-1:

{(x, Ax), x  D(A)} и {(y, A^-1y), y R(A)}.

Но график оператора А^-1 можно записать в виде {(Ах, х), х  D(A)}, т. е. он получается из графика оператора А перестановкой х и Ах и, значит, также является замкнутым множеством в YX. Это и означает замкну­тость A^-1.

Следствие. Если А  L(Х, Y) и А^-1 существует, то А^-1 замкнут.

Действительно, по теореме 8 оператор А замкнут, тогда по теореме 9 оператор А^-1 замкнут.

Пример 21. В гильбертовом пространстве H с ортонормированным базисом {e_k} зададим линейный оператор A следующими формулами: Ae_k = _kе_k, k = 1,2, ... ,где _k –некоторые скаляры. Если х H, то х = , где ряд ||х||² = . Тогда Ах = . Этот ряд сходится тогда и только тогда, когда

||Ax||² = <  (17)

Возможны следующие два случая:

а) |_k| - ограничена: этот случай рассмотрен в примере 4, оператор А ограничен.

б) |_л| - неограниченна. Оператор А неограничен, и его область опре­деления D(A) состоит из элементов х, удовлетворяющих неравенству (17). Неограниченность А вытекает из того, что ||Ае_k|| = |_k| при k  неограниченны, хотя ||е_k|| = 1. Если inf_k |_k| = с_А > 0 (т.е. _k отделе­ны от нуля положительным числом), то существует A^-1, определяемый на элементах

y = , <,

формулой

A^-1y = .

Поскольку sup_k |_k|^-1 = c^-1 < , то А^-1 ограничен (D(A^-1) = H). Таким образом, условие inf_k |_k| = с_А > 0, согласно теореме 9, обеспечивает замкнутость A.

Пример 22. Пусть X = Y = С[0, +) — банахово пространство функций x(t), непрерывных и ограниченных на полуоси [0, +) с нормой ||х|| = .

Зададим в X оператор A по формуле Aх = tx(t). Оператор A линеен, и его область определения D(A) состоит из функций, удовлетворяющих неравенству

|x(t)|  c/(1 + t),

где постоянная с – своя для каждой функции из D(A).

Оператор A неограничен. Действительно, рассмотрим последователь­ность функций x_n(t) = п/(п + t) (п = 1, 2, ...). Заметим, что x_n(t) D(A), так как |х_n(t)| = п/(п + t)  n/(l + t). Кроме того, ясно, что ||х_n|| = 1. Теперь имеем

следовательно, .

Покажем, что А замкнут. Пусть в пространстве X выполняется x_n(t)  x(t), tx_n(t) y(t) при п  . Тогда (1 + t)x_n(t)  x(t) + y(t) при п   (сходимость везде равномерная на [0; +). Следовательно, для любого  > 0 найдется номер N такой, что если n  N, то

|(1 + t)x_n(t) – [x(t) + y(t)]| <  для всех t  [0, +), или .

Следовательно, x_n(t)  при п  , но х_n(t)  x(t), поэтому , откуда y(t) = tx(t), т.е. у = Ах. Остается заметить, что х  D(A) в силу оценок:

|x(t)|  С₁||y||  2С₁||y||/(1 + t) при t [0, 1],

|x(t)|  С₂||y||/t  2С₂||y||/(1 + t) при t [1, +),

.

Пример 23. Пусть Х = У = С[а, b]. Рассмотрим оператор дифференцирования

В начале этого пункта показано, что этот оператор не является ограниченным. Покажем, что А замкнут. Сходимость в С[а, b] равномерная. Пусть x_n(t) D(A), и пусть при п  