- •Введение
- •Глава 1 топологические пространства
- •1. Понятие множества. Операции над множествами. Отображения. Характеристическая функция множества
- •2. Топология и топологическое пространство. База топологии
- •3. Структура открытых множеств и окрестности
- •4. Понятие метрического пространства и топологии, определяемой метрикой. Примеры метрических пространств
- •5. Операция замыкания множества в топологическом пространстве
- •6. Внутренние точки множества, внутренность. Граница множества
- •7. Сепарабельные топологические пространства
- •8. Индуцированные топологии и фактортопология
- •9. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм
- •10. Компактные пространства
- •Глава 2 свойства метрических пространств
- •1. Сходящиеся последовательности в метрических пространствах и полные метрические пространства
- •2. Теорема о пополнении метрического пространства
- •3. Критерий полноты пространства
- •4. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Хаусдорфа
- •5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
- •6. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении и сепарабельность с[0, 1]
- •7. Отображение компактных множеств. Теорема Вейерштраса об ограниченности и достижении точных граней непрерывной функцией
- •8. Принцип сжимающих отображений и его применение
- •9. Нигде не плотные множества. Понятие категории множеств метрического пространства. Теорема Бэра
- •Глава 3 мера и измеримые множества
- •1. Системы множеств
- •2. Системы множеств в евклидовом пространстве
- •3. Функция множеств
- •4. Мера и ее простейшие свойства. Мера в евклидовом пространстве
- •5. Внешняя мера
- •6. Измеримые множества
- •7. Мера Лебега на Rn
- •Глава 4 измеримые функции
- •1. Измеримые функции и их свойства
- •2. Сходимость почти всюду
- •3. Сходимость по мере и ее свойства
- •4. Сравнение сходимости почти всюду и по мере
- •5. Почти равномерная сходимость. Теоремы Егорова и Лузина
- •Глава 5 интеграл лебега
- •1. Интеграл Лебега для простых и ограниченных функций на пространстве с конечной мерой
- •2. Основные свойства интеграла от ограниченной функции
- •3. Определение интеграла Лебега в произвольном случае
- •4. Предельный переход под знаком интеграла
- •5. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •6. Заряды. Теорема Радона—Никодима
- •Глава 6 нормированные и гильбертовы пространства
- •2. Конечномерные пространства. Конечномерность и компактность. Теорема Рисса о локальной компактности.
- •3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.
- •4. Ортогональность и ортогональное дополнение
- •5. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве. Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортонормированные системы
- •Глава 7 линейные операторы в нормированных пространствах
- •2. Пространство линейных непрерывных операторов и его полнота относительно равномерной сходимости операторов
- •3. Принцип равномерной ограниченности и теорема Банаха-Штейнгауза. Полнота пространства операторов относительно поточечной сходимости
- •4. Ядро оператора. Критерий ограниченности обратного оператора. Теоремы об обратном операторе
- •5. Примеры обратных операторов. Обратимость операторов вида (I - a) и (a - c).
- •6. График оператора и замкнутые операторы. Критерий замкнутости. Теорема Банаха о замкнутом графике. Теорема об открытом отображении
- •Xn(t)X(t) равномерно на [a, b],.
- •X'n(t) y(t) равномерно на [а, b].
- •Глава 8 линейные функционалы в нормированных пространствах
- •1. Линейные непрерывные функционалы. Продолжение по непрерывности. Теорема Хана-Банаха. Следствия из теоремы Хана-Банаха
- •2. Сопряженные пространства
- •3. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала для пространства непрерывных функций
- •4. Пространства Лебега и сопряженные к ним
- •5. Изоморфизм и изометрия сепарабельных гильбертовых пространств. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса-Фишера.
- •6. Сопряженный оператор. Условия существования сопряженного оператора. Замкнутость сопряженного оператора. Сопряженный оператор к ограниченному оператору и его норма.
- •Глава 9 спектральная теория операторов
- •1. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Операторы Фредгольма и Гильберта-Шмидта
- •2. Теорема Шаудера о полной непрерывности сопряженного оператора. Уравнения первого и второго рода с вполне непрерывными операторами. Теорема о замкнутости области значений оператора
- •3. Альтернативы Фредгольма. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
- •Предметный указатель
5. Критерии компактности в пространствах с[0, 1], lp. Теорема Арцела
Приведем критерии компактности в конкретных метрических пространствах.
Определение 12. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равномерно ограниченным, если C: |x(t)| C, t[0, 1], xM.
Определение 13. Множество M непрерывных на отрезке [0, 1] функций называется равностепенно непрерывным, если для >0 ()>0: |t1 - t2| < , t1, t2[0,1] |x(t1) - x(t2)|<,xM.
Теорема 5 (Арцела). Множество M C[0, 1] - относительно компактно 1)М - равномерно ограниченно, 2)М – равностепенно непрерывно.
Необходимость. Положим = 1 и построим для этого конечную -сеть x1(t),..., xn(t) C[0, 1] для множества М. Тогда S(xk(t), 1) M. Для любого yМ S(xk(t), 1) найдется такое m, 1 m n, что d(y, xm(t))<1. Следовательно, |y(t) – xm(t)| < 1 и |y(t)| |xm(t)| + 1. Так как существует С такое, что |xk(t)| C для любого k = 1, 2, 3,..., n, то |y(t)| C + 1. В силу произвольности уМ в этом неравенстве и так как правая часть последнего неравенства от выбора этого у не зависит, мы получим равномерную ограниченность множества функций из М.
Возьмем теперь > 0 произвольно и также построим конечную -сеть, {xk(t)}, k=1, 2,..., n. Для конечного набора функций {xk(t)} в силу его конечности и равномерной непрерывности каждой из функций можно указать такое >0, что из |t1 – t2| < , t1, t2[0, 1] |xk(t2) – xk(t2)| < для любого k = 1, 2, ..., n. Возьмем произвольное хМ. Тогда m такое, что |x(t) – xm(t)| < для t[0, 1]. В силу неравенств
|x(t1) – x(t2)| |x(t1) – xm(t1)| + |xm(t1) – xm(t2)| + |xm(t2) – x(t2)| < + + = 3
для |t1 – t2| < , t1, t2 [0, 1], следует, что |x(t1) – x(t2)| 3, если |t1 – t2| < , t1, t2 [0, 1]. Этим показана равностепенная непрерывность функций из множества М.
Достаточность. Пусть множество функций M C[0, 1] - равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Построим для М компактную -сеть. По предположению о равностепенной непрерывности множества М для >0 >0: из |t1 – t2|< |x(t1) – x(t2)| < для х M. Подберем натуральное число n так, чтобы 1/n < и разобьем отрезок [0, 1] на n равных частей. Для каждой функции х M поставим ей в соответствие набор чисел (х(0), х(1/n), х(2/n), ..., х(1)). Этим построено отображение функций множества М в вектор (x1, x2,..., xn+1) Rn+1. Рассмотрим множество Mn+1 = {(x1,..., xn+1) Rn+1: хM: (х(0), х(1/n), х(2/n),..., х(1)) = (x1, x2, x3,..., xn+1) }. Так как |х(t)|M,t[0, 1], хM, то |xk| C для k = 1, 2,..., n + 1, т.е. множество Mn+1 – ограничено в Rn+1, а значит относительно компактно в Rn+1.
Построим множество кусочно-линейных функций Mкл по множеству Mn+1. Именно, для (x1, x2, x3,..., xn+1)Mn+1 полагаем хкл(t) = n(t - k/n)(xk+2 - xk+1) + xk+1, при t[k /n, (k + 1)/n], k = 0, 1, 2, …, n – 1. Геометрически последнее означает, что мы соединяем точки (k/n, хk+1) и ((k+1)/n, хk+2) отрезком прямой. Вычислим расстояние между двумя функциями из Mкл в метрике пространства С[0, 1]. Имеем
При этом второе равенство выполняется, так как разность линейных функций на отрезке достигает своих меньших и больших значений на концах отрезка. Этим мы установили изометрический изоморфизм между метрическими пространствами Мn+1 с метрикой d(x, y) = |xk – yk| и Mкл с метрикой пространства С[0, 1].
Пусть х(n) M и х(n)клMкл - построенные по х(n) указанным выше способом кусочно-линейные функции. Так как множество Мn+1 является ограниченным в Rn+1 и следовательно относительно компактным, а сходимость по метрике в Rn+1 эквивалентна сходимости по метрике d(x, y) = maxk |xk – yk| (покажите это), то и множество Mкл также является относительно компактным в C[0, 1]. Для завершения доказательства покажем, что Мкл компактная -сеть для множества М.
В силу равностепенной непрерывности и выбора n из t1, t2[(k–1)/n, k/n] следует, что |x(t1) – x(t2)| < для х M. Пусть для определенности на концах отрезка x((k–1)/n) x(k/n). Последнее означает, что функция xкл(t) возрастает на отрезке [(k–1)/n, k/n]. Тогда – < x(t) – x(k/n) x(t) – xкл(t) x(t) – x((k–1)/n) < для любого t[(k–1)/n, k/n]. Таким образом, , d(x(t), xкл(t))< и Мкл компактная -сеть для М. Теорема доказана.
Теорема 6. Множество M lp (1 p < ) - относительно компактно тогда и только тогда, когда 1) множество M - ограничено, 2) для >0 N(): < для nN,xM.
Необходимость. Необходимость 1) условия очевидна. Докажем второе условие. Пусть y(1), y(2),..., y(r) - конечная /2 - сеть для множества М. В силу конечности этого набора для >0 N(): < /2 для nN, m = 1, 2,..., r. Тогда для произвольного хM выберем у(m) так, что d(x, y(m)) < /2. В результате имеем: d(x, y(m)) + /2 < . Получаем необходимое неравенство.
Достаточность. Пусть х = (х1, х2,..., хm, xm+1, xm+2,..) и Pmx = (x1, x2,..., xm, 0, 0,...), Qmx = x - Pmx. По условиям теоремы для >0 m: d(Qnx, 0)<, nm, xM. Множество Mm = {Pmx, xM} является изометрически изоморфным ограниченному множеству в Rm, следовательно, оно относительно компактно. Тогда для xM , РmxMm и d(x, Pmx) = d(Qmx, 0)<. Отсюда Мm - компактная -сеть для М, следовательно М -компактно. Теорема доказана.