Глава 5. Классическая логика предикатов

научного знания и основным ответом на вопрос о принципах его построения.

Аксиоматический способ построения научной те­ории основывается существенным образом на раз­личении ее исходных и производных элементов. Ис­ходные утверждения теории, не анализируемые в ней содержатеkьно, обычно называют аксиомами или постулатами. Исходные понятия теории — это ее кон­цептуальные допущения, взятые без определений. Из аксиом и постулатов теории в процессе доказатеkь­ства выводится по логическим правилам вывода си­стема дедуктивно-замкнутых утверждений — теорем теории. Из концептуальных допущений, принятых в теории, по определениям и дефинициям задаются новые, производные понятия, связанные дефиници-ально с исходными и образующие вместе с ними еди­ную концептуальную структуру.

Теория доказатеkьств классической логики пре­дикатов в аксиоматической форме может быrь пред­ставлена следующим образnм.

Аксиомы КЛП-исчисления

АО Все тезисы классической логики высказываний (КЛВ).

А1 Р(у)->ЗхР(х) А2 VxP(x)->P(y)

Логические правила вывода в КЛП-исчислении

П1 Если I—А —В и h-A,TO I—В.

П2 Если А содержит переменные р.,, ..., р_п, а В

получается из А подстановкой в А формул

С.,,..., С_п вместо p_v ..., р_п соответственно, то

I—А влечет I— В. ПЗ Если С есть подформула формулы А, Д есть

подформула формулы В, а В получается из А

173

Логика

заменой С на Д, то из С <-> Д следует, что

А<->В. П4 Если В ->А(х) и формула В не содержит

переменной х, то (— • В-» ухА(х). П5 Если i — А(х) -» В и формула В не содержит переменной х, то \— ЗхА(х) -» В.

Определение 5.17. Доказательством в КЛП-ис-числении называется последовательность формул КПП-языка, каждая из которых является либо одной из аксиом АО-А2, либо формулой, полученной из предшествующих в последовательности по одному из правил вывода П1-П5. Конечная формула последо­вательности доказатеkьства называется доказуемой формулой КПП-исчисления или КЛП-тезисnм. Обозна­чается: (—А.

Следующие утверждения являются тезисами КЛП-исчисления.

Tl. VxP(x) -» -,Зх-,Р(х)

1. VxP(x)-> Р(у)

2. -,Р(у) -> -,VxP(x)

3. 3x-rP(x) -> -,VxP(x)

4. VxP(x) -+ -ax-nP(x)

Т2. -,Vx-iP(x) -^ ЗхР(х)

1. Р(у)-> ЗхР(х)

2. -₁ЗхР(х) -+ -,Р(у)

3. -,ЗхР(х)-> Vx-,P(x) 4- -,Vx-,P(x) -> 3xP(x)

А2

Из (1) по КЛВ Из (2) по П5 Из (3) по КЛВ

А1

Из (1) по КЛВ Из (2) по П4 Из (3) по КЛВ

174

Глава 5. Классическая логика предикатов

ТЗ. (VxP(x)v VxQ(x))-> Vx(p(x) v q(x))

1. VxP(x)->P(y) A2

2. VxQ(x)-»Q(y) A2

3. (VxP(x) v VxQ(x)) -» (P(y) v Q(y)) Из (1), (2) no

КЛВ

4. (VxP(x) v VxQ(x)) -> Vx(p(x) v q(x)) Из (З) по П4

T4. Зх(Р(х) л Q(x)) -» (ЗхР(х) л 3xQ(x))

1- P(y)->3xP(x) Al

²- Q(y)->3xQ(x) Al

3. p(_y)_AQ(y)-»(3xP(x)A3xQ(x)) Из (1), (2) no

KJIB 4- 3x(p(x)AQ(x))^(3xP(x)_A3xQ(x)) Из (3) по П5

Упражнение

5.11. Докажите, что все формулы упр. 5.6 явля­ются КЛП-тезисами.

Глава 6

Неклассическая логика: врем, модальность, изменение

6.1. Состояние, процесс, событие

Сферу логического исследования теории образу­ет класс принадлежащих ей высказываний. Цель исследования состоит в том, чтобы установить для данного класса высказываний логические условия их истинности и выводимости. Известно, что истин­ность высказываний, изучаемых в классической ло­гике, не зависит от времени, относительно которого описывается объект. Теоретическая логика в клас­сической форме обращена к статичнnму объекту. В нее включаются описания таких логически возмож­ных ситуаций, предметных универсумов и классов предикатов, которые в процессе анализа предполага­ются неизменн{ми. В настоящем разделе обсужда­ются некоторые направления неклассических расши­рений теоретической логики, предназначенных для логических характеристик динамики объекта. Вы-

176