- •Ростов-на-дону «феникс»
- •Глава 1
- •Глава 1. Теоретическая логика: круг проблем____
- •Глава 1. Теоретическая логика; круг проблем
- •Глава 1. Теоретическая логика; круг проблем____
- •Глава 2
- •2.1. Логические отношения между понятиями
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Упражнения
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 2. Понятие
- •Глава 3
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Упражнения
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 3. Суждение
- •Глава 4
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •3. А посылка
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •5. Логика 129
- •1 Фигура 2 фигура 3 фигура 4 фигура
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 4. Рассуждение
- •1. Только в споре рождается истина.
- •2. Некоторые высказывания противоречивы. Лишь непротиворечивое возможно.
- •Глава 4. Рассуждение
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •1. Тоkько демократическое государство может быть правов{м.
- •2. Лишь глупые люди верят в конец света.
- •3. Каждого, кто верит в себя, можно считать человеком. Никто, ни один человек не верит политикам.
- •9. Тоkько в споре рождается истина.
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •17. Любой честный человек не любит лжецов. Каждый принципиальный человек честен.
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •Глава 5. Классическая логика предикатов
- •Глава 6
- •Глава 6. Неклассическая логика; время, модальность,...
- •Глава 6. Неклассическая логика: время, модальность,...
- •Глава 6. Неклассическая логика: время, модальность,...
- •Глава 6. Неклассическая логика: время, модальность....
- •Глава 6. Неклассическая логика: время, модальность,...
- •Глава 6. Неклассическая логика; время, модальность,...
- •Глава 6. Неклассическая логика; время, модальность....
- •Глава 7 7.1. Логическая структура доказатеkьства
- •Глава 7. Доказательство и опровержение
- •Глава 7. Доказательство и опровержение
- •Глава 7. Доказательство и опровержение____
- •Глава 7. Доказательство и опровержение
- •Глава 7. Доказательство и опровержение
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 8. Проблема, гипотеза, теория
- •Глава 9
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 9. Диалогика
- •Глава 10
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 10. Эротетина диалога
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 10. Эротетика диалога
- •Глава 11
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 11. Прагматика диалога
- •Глава 12 12.1. Парадоксы
- •Глава 12. Классические парадоксы и софизмы
- •Глава 12. Классические парадоксы и софизмы
- •12.2. Софизмы
- •Глава 12. Классические парадоксы и софизмы
- •Глава 12. Классические парадоксы и софизмы abc
- •Глава 12. Классические парадоксы и софизмы____
- •Тема 1. Теоретическая логика: круг проблем
- •Тема 2. Понятие как логическая форма научного познания
- •Тема 3. Суждение как логическая форма научного познания
- •Приложение
- •Приложение
- •Тема 4. Рассуждение как логическая форма научного познания
- •Тема 5. Логика, диалектика и методология науки
- •Тема 6. Диалогика: круг проблем
- •Приложение
- •Оглавление
1. Тоkько демократическое государство может быть правов{м.
Тоталитарное, значит антидемократическое государство.
Нет правового государства с тоталитарн{м режимом.
2. Лишь глупые люди верят в конец света.
Тот, кто верит в гармонию мира, не верит в конец света.
Всегда найдется глупец, который не верит в гармонию мира.
150
_____Глава 5. Классическая логика предикатов
3. Каждого, кто верит в себя, можно считать человеком. Никто, ни один человек не верит политикам.
Все, кто верит политикам, не верят в себя.
4. Лишь идеалистом может быть юрист.
Все мошенники придерживаются материалистических взглядов.
Юрист не может быть мошенником.
5. Нет таких членов парламента, которые не участвовали бы в законотворчестве. Только 12% членов парламента составляют юристы.
Не все, кто создают законы, являются юристами.
6. Этот политик — лжец.
Только болтуны могут быть лжецами.
Этот политик, помимо всего прочего, еще и болтун.
7. Среди юристов имеются профессиональные бизнесмены. Настоящий бизнесмен не боится инфляции.
Некоторые юристы не опасаются инфляvии.
8. Только политики верят в пользу насилия.
Не всякий любитель насилия любит собственных детей.
Некоторые политики не любят своих детей.
9. Тоkько в споре рождается истина.
Никто не станет спорить, кроме глупца или мошенника.
Лишь глупец или мошенник может достичь истины.
151
_______________Логика_______________
10. Ведь никто не будет отрицать, что Аполлон прекрасен. Лишь обладающие женской логикой относятся к прекрасной половине человечества.
Выходит, что Аполлону была свойственна женская логика.
11. Все люди смертны.
Некоторые писатели бессмертны.
Значит, некоторые писатели не люди.
12. Боязливый к прекраснnму полу — боязлив и в жизни. Тот, кто знает логику, не боится женщин.
Трус не разбирается в логике.
13. Среди болтунов нет логиков.
Только болтун может стать политиком.
Этот логик, как и все его коллеги, никогда не станет политиком.
14. Иногда проходимец может оказаться ясновидцем. Если ты ясновидец, то не имеешь права лгать.
Существуют проходимцы, которые обязаны говорить лишь правду.
15. Лишь двоечник по убеждению — лентяй. Ни один студент не любит получать двойки.
Значит, среди студентов нет лентяев.
16. Лишь в правовом государстве реализуются права граждан.
Тоkько демократическое государство может быть правовым.
Права граждан могут быть реализованы лишь в демократическом государстве.
152
Глава 5. Классическая логика предикатов
17. Любой честный человек не любит лжецов. Каждый принципиальный человек честен.
Принципиальные люди не любят лжецов.
5.2. Пусть задан некоторый перевод силлогизма из упражнения 5.1 на язык классической логики предикатов в форме: А, В=ФС. Объединим посылки силлогистического рассуждения конъюнкцией, а полученный конъ-юнктор свяжем с заключением импликацией: (Ал В)—» С. Представим результирующую формулу в негативно-нормальной форме. Пример. (См. пример к упр. 5.1)
(Vx(3(x) -> ф(х))а -^Эх(ц(х)л -,э(х))) -> Ух(ц(х) -> ф(х)).
1. -,(ух(-,э(х) v ф(х)) л -ах(ц(х) л -.Э(х))) v Ух(-,ц(х) v ф(х)).
2. -,Vx(-,a(x) v ф(х)) v Зх(ц(х) л -.э(х)) v \'х(-,ц(х) v ф(х)).
3. Зх-,(-,э(х) v ф(х)) v Эх(ц(х) л -.э(х)) v Ух(-,ц(х) v ф(х)) .
4. Зх(э(х) л -.ф(х)) v Эх(ц(х) л -1э(х)) v Ух(-,ц(х) v ф(х)) .
Обоснуйте шаги эквивалентных преобразований самостоятельно.
5.3. Пусть А — формула КЛП-языка в негативно-нормальной форме, определенная по условим упражнения 5.2. Покажите, что -iA<=>B, где В — формула, полученная из А заменой всех кванторов vx на Зх и Зх на Võ; всех пропозициональных связок л на v и v на л ; всех отрицаний атомарных формул на сами эти формулы и всех атомарных формул на их отрицания.
153
Логика
Пример. (См. пример к упр. 5.2.)
А = Зх(э(х) л ~.ф(х)) v Зх(ц(х) л ~.э(х)) v Vx(-Jj(x) v ф(х)).
-А = -,(эх(э(х) л -пф(х)) v Эх(ц(х) л -,э(х)) v Vx(-fl(x) v ф(х))).
-А = -Зх(э(х) л -.ф(х)) л -пЗх(тДх) л -.э(х)) л -,Vx(-,H,(x) v ф(х)).
-А = Ух-,(э(х) л -Л>(х)) л Ух-,(ц(х) л ->э(х)) л Эх-ЈтЦ(х) v ф(х)).
-Л = Ух(-а(х) v ф(х)) л Ух(-,ц(х) л э(х)) л Зх(ц(х) v -,ф(х)).
Определение 5.6. Пусть А — формула КЛР-яз{ка в негативно-нормальной форме, формула В получена из формулы А заменой всех встречающихся в ней
кванторов Vx на Зх, кванторов Эх на Vx; всех встречающихся в ней пропозициональных связок а на v и v на л ; всех встречающихся в ней отрицаний атомарных подформул на сами эти подформулы м всех встречающихся в ней атомарных подформул на их отрицания. Тогда формула В называется контр-дуалом для формулы А в КПП-языке.
5.4. Докажите следующую теорему.
Теорема 5.2. Пусть А — произвольная формула КЛП-языка в негативно-нормальной форме, формула В является контрдуалnм формулы А. Тогда и- -iA <=> В .
5.5. Следующие выводы КЛП переведите на яз{к силлогистики, подобрав подходящие примеры, сформулированные в естественном языке.
1. vx(m(x) -» -iP(x)), dx(s(x)A m(x)) => Зх-ф(х) -*• р(х)).
2. -ах(м(х) л р(х)), Ух-т(м(х) л ^S(x)) => 3x(s(x) л -iP(x)).
154
_____Глава 5. Классическая логика предикатов
5.2. Теория моделей классической логики предикатов
Теоретико-модеkьное исследование классической логики предикатов обращено к изучению логических отношений, связывающих выражения формального КЛП-яз{ка е описанной в них структурой реальности. Иными словами, теория моделей представляет собой раздел теоретической логики, изучающий соотношения между формальным языком и его интерпретацими, или моделми. Теорию моделей логики предикатов обычно называют классической теорией моделей.
Итак, теория моделей является областью теоретической логики» изучающей методы и средства, соотносяyие выражения языка со структурами реальности. Это означает, что каждой паре, состоящей из высказываний языка и модели, ставится в соответствие одно из истинностных значений — истинно или ложно. Вводимое таким образом понятие истинности играет роль моста, связывающего формальный язык с его интерпретацией в реальности посредством моделей. Если высказыванию А и модели М сопоставлено истинностное значение «истинно», будем говорить, что высказывание А истинно в модели М, а также, что М является модеkью высказывания А. В противном случае мы говорим, что высказывание А ложно в модели М и что М не является моделью для высказывания А.
М является моделью для множества высказываний. ecли M является моделью для каждого из этих высказываний, то есть каждое такое высказывание истинно в модели М. Множество высказываний
155
_____________Логика_______________
формального языка, истинных в модели М, называется описанием ситуации, состояния дел, сложившихся в реальности. Такое описание реальной ситуации представлено яз{ковыми средствами в «проекции» интерпретирующей модели М.
Аналитическим фактором, придающим теории моделей характеристику единства, является проводимое в этой теории различение синтаксиса и семантики. Синтаксис имеет дело с чисто формальной структурой языка. Например, понтия подформуль-ности или совокупности входящих в формулу символов являются синтаксическими категориями формализованного языка. Синтаксические характеристики КЛП-языка были подробно рассмотрены в разделе 5.1.
Семантика изучает интерпретацию или область значений элементов формаkьного языка. Скажем, истинность или ложность высказываний в модели — вопрос семантический. Таким образом, в теории моделей исследуется взаимодействие синтаксического и семантического уровней логического анализа.
Объясненная таким образом теория моделей отражает классическую идеологию общей философской концепции истины, восходящей в своих теоретических источниках к логике и философии Аристотеля. В соответствии с классической концеoцией, быть истинным означает соответствовать действитеkьному положению дел в реальнnм мире. Поэтому эту филосnфскую концепцию называют также корреспондентской теорией истины.
Применитеkьно к изучаемой здесь теории моделей классическая философская концепция истины может быть переформулирована следующим образом: «быть истинным высказыванием» означает
156
_____Глава 5. Классическая логика предикатов_____
быть адекватным описанием соответствующей ситуации, сложившейся в реальности и отображенной в ее модели. Содержатеkьно классическое понимание истинности является достаточно ясным, однако для испоkьзования в теоретической логике оно должно получить более точную формулировку. Такое уточнение классической концепции истины в терминах формальных яз{ков типа КЛП-языка как раз и является областью исследования в теории моделей.
Но прежде, чем перейти к строгим формулировкам и дефинициям, определяюyим основные понятия теории моделей классической логики предикатов, обратимся сначала к рассмотрению очеmь простого и понятного примера, проясняющего их интуитивный смысл.
Предположим, что анализируемый формальный язык является фрагментом КЛП-яз{ка и его синтаксис включает следующие символы: индивидные константы — а1, а2, а3, которые читаются: «Джон», «Джейн» и «Майкл» соответственно; одноместные предикатные символы — Р*, Р*, читаются соответственно: «быть юношей» и «быть девушкой»; двуместные предикатные символы Р2, Р : «любить» и «дружить». Таким образом, формальный язык L, анализируемый как фрагмент КЛП-языка, задается упорядоченной последоватеkьностью:
L = <a1,a2,a3,P1SP21,P12,P22>.
Понятие модели М для языка L можно задать упорядоченной парой М = (U, Р) , где U — предметный универсум индивидов, а Р — множество предикатов, то есть свойств или отношений, определенных на предметном универсуме U.
Ясно, что относитеkьно интерпретируемого языка L предметный универсум ограничен тремя индивидами,
157
_____ Логика
соответствующими индивидным константам ах, а2, а3, то есть U = \а1> а2> а^ jt где а^ — Джон-индивид, а^ — Джейн-индивид и »з — Майкл-индивид. Записи а и а различаются как термин яз{ка L, выражающий единичное имя, и индивид, принадлежащий предметному универсуму U модели М.
Одноместные предикаты Р*, РЈ интерпретируются на модели М предикатами р и р . По содержател ным интуициям совершенно ясно, что pi = Неформально говоря, это означает, что свойство «быть юношей» приписывается индивидам Джону и Майклу, а свойство «быть девушкой» — естественно, Джейн.
С логической точки зрения для каждого двуместного предикатного символа языка L, Р2 или Р2, имеют место ровно U2 = З2 =9 логически возможных интерпретаций, определенных на модели М. Это означает в нашем случае, что предикат Р^ может быть задан некоторыми упорядоченн{ми парами индивидов из полной последоватеkьности таких пар, определенных на U2. То есть
P2 и U2 =
\а2> а2/> \*_2» *_3 /' \аЗ> %/» \аЗ» а2/> \аЗ> a
Относитеkьно множества логически возможных ситуаций, предназначенных для интерпретации символов языка L, можно мыслить множество альтернативных моделей, определенных на структуре М = (U, p) и представляющих альтернативные состояния дел в реальности.
158
_____Глава 5. Классическая логика предикатов____
Примеры. Ml = <U,P), U = Ka^aJ. Р/ = {а^,^}, ^ = (аД
Неформальная интерпретация. Состояние дел, фиксируемое Mi-моделью, представляет собой ординарный треугольник неразделенной любви. Джон любит Джейн, но Джейн любит Майкла, который, в свою очередь, никого не любит, кроме себя. Несмотря на эгоизм Майкла и соперничество юношей в «предмете вожделения», все же Джон и Майкл дружат друг с другом.
Сказанное вытекает из Mi-истинности следующих высказываний:
1. Джон — юноша.
2. Джейн — девушка.
3. Майкл — юноша.
4. Джон любит Джейн.
5. Джейн любит Майкла.
6. Майкл любит себя.
7. Джон дружит с Майклом.
8. Майкл дружит с Джоном.
9. VxjVx2 (p| (xj, х2 ) -» Pg (x2, Xj)). Для любой пары индивидов: если первый дружит со вторым, значит второй дружит с первым.
10. Vx—iP|(x,x). Никто не может дружить сам с собой.
Ml-истинность формул 9 и 10 не обозначена явным образом в условиях Mi-модели, но имплицитно содержится в контексте ее содержательной интерпретации. Действитеkьно, если по условиям Ml-модели Джон дружит с Майклом, то с необходимостью
159
_________ ____ Логика ____ ___________
следует, что Майкл дружит с Джонnм. Точно так же интуитивно ясно, что невозможно дружить с самим собой. Для pi эти интуиции могут не выполняrься.
М2 = (U,P), U = КаД р = {ааД р = {aj,
Неформальная интерпретация. Реальная ситуация, фиксируемая в М2-модели, представляет собой такое состояние дел, когда юноши, Джон и Майкл, исключительно эгоистичны и любят лишь самих себя. Джейн, наоборот, любвеобильная альтруистка и готова любить всех, кроме себя. Кроме того, никто ни с кем не желает дружить, поэтому интерпретация предиката Р| пуста.
Сказанное следует из М2-истинности следующих высказываний:
1. Джон — юноша.
2. Джейн — девушка.
3. Майкл — юноша.
4. Джон любит себя.
5. Джейн любит Джона.
6. Джейн любит Майкла.
7. Майкл любит себя.
8. VXi-axjjPl^x^Xa). Никто ни с кем не дружит.
Таким образом, для одной и той же модеkьной структуры с одинаковыми универсумами и множествами предикатов можно мыслить альтернативные модели, отличающиеся друг от друга моделируемыми реальными состояними дел.
Определение 5.7. М-моделью, предназначенной для интерпретации формального КПП-языка класси-
160