2.4. Теорема Гаусса для поляризованности

Выделим внутри поляризованного диэлектрика физически бесконечно малый цилиндрический объем, образующая которого параллельна векто­ру поляризованности Р (рис. 2.6, а). Основаниями цилиндра являются две параллельные плоскости. Площади оснований цилиндра равны dS, а его длина - . Рассмотрим молекулы, находящиеся в этом объеме. На рис. 2.6, а условно изображены семь таких молекул. В действительности физически бесконечно малый объем может содержать в себе очень боль­шое число молекул. Вычислим их суммарный электрический момент.

Рис. 2.6. Вырезанный из поляризованного диэлектрика цилиндр подобен двум заряженным плоскостям

Внутри цилиндра положительные и отрицательные молекулярные за­ряды нейтрализуют друг друга. Поэтому объемная плотность связанных зарядов в однородно поляризованном диэлектрике в среднем равна нулю.

Некомпенсированными остаются только связанные заряды на основани­ях цилиндра (рис. 2.6,6). Их поверхностные плотности обозначим -' и +'. Центры тяжести этих зарядов находятся на соответствующих основаниях и разделены расстоянием . Таким образом, сумммарный электрический момент цилиндра равен произведению заряда 'dS на расстояние :

= 'dS .

Объем цилиндра равен произведению площади основания dS на высо­ту

 cos : dV = dS  cos, где  - угол между нормалью п к одному

из оснований и вектором Р. Согласно определению (2.11) сумммарный электрический момент молекул, заключенных в некотором объеме, равен произведению поляризованности диэлектрика на величину этого объема:

'dS  = PdS  cos.

Это равенство удобно записать в виде

' = Pn.

Полученная формула устанавливает связь между вектором поляризо­ванности диэлектрика и поверхностной плотностью связанных зарядов, находящихся на одной из сторон небольшой воображаемой поверхности dS, а именно на той ее стороне, по отношению к которой нормаль n явля­ется внешней.

Pис. 2.7. К выводу теоремы Гаусса для поляризованности

Построим внутри диэлектрика произвольную замкнутую поверхность S, которая ограничивает некоторый объем V (рис. 2.7). Поверхност­ный связанный заряд на элементе поверхности площадью dS равен 'dS

Согласно формуле (2.12) полный связанный заряд, распределенный на поверхности S и принадлежащий молекулам, которые находятся у ее внутренней стороны, выражается интегралом

Q'_S =

т.е. равен потоку вектора поляризованности через поверхность S в на­правлении внешней нормали.

Поверхностный связанный заряд Q'_s и суммарный заряд Q_v молекул в объеме V, ограниченном поверхностью S, равны нулю при однород­ной поляризации диэлектрика. Если же диэлектрик поляризован неод­нородно, объемный связанный заряд Q'_v будет отличен от нуля, а его распределение в пространстве будет описываться функцией ' = '(r), которая называется объемной плотностью связанных зарядов. При этом объемный связанный заряд будет

Q'_V =

Любая часть диэлектрика в целом нейтральна. Поэтому поверхност­ный связанный заряд Q'_s должен быть равен по величине и противопо­ложен по знаку объемному связанному заряду Q_V

Q's = - Q’_V (2.15)

Подставим в это равенство интегралы (2.13) и (2.14). Получим;

= - (2.16)

Это уравнение можно назвать теоремой Гаусса для вектора поляризован­ности. Согласно (2.16) поток вектора Р через произвольную замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен с обратным знаком объемному связанному заряду внутри этой поверхности.

Преобразуем по теореме Остроградского - Гаусса поверхностный ин­теграл в равенстве (2.16) в интеграл по объему от дивергенции вектора

Р поляризованности:

= -

Два интеграла по произвольному объему равны друг другу тогда и толь­ко тогда, когда равны подынтегральные выражения:

(2.17)

div P = - '

Из этого уравнения следует, что если диэлектрик поляризован однород­но, т.е. Р = const, то объемная плотность связанных зарядов равна нулю.