Градиент.

Скорость изменения некоторой величины во времени можно описать, задавая её производную по времени t. Если же мы хотим узнать скорость изменения некоторой величины в пространстве, то, очевидно, мы должны взять её производную по координатам x, y, z.

(Рисунок)

В трёхмерном случае:

или , где - оператор набла.

- векторный дифференциальный оператор.

grad =

grad f =

сила консервативна, если выполняется условие

, где U - потенциальная энергия

Покажем !!!, что для потенциальной энергии выполняется условие консервативности. определим градиент потенциальной энергии. Возьмем производную по х и т.д.

С учетом этих соотношений получим равенство

rot grad f=0 f-произвольное скалярное поле

U=q

rot grad f=0 f-произвольное скалярное поле

rot grad =0

Работа при перемещении заряда в постоянном электрическом поле

По определению

На точечный заряд, движущийся в постоянном электрическом поле, действует сила

При этом формула для работы преобразуется к виду

=

Бесконечно малое приращение потенциала, равное разности значений в двух близких точках определяется известной формулой дифференциала функции нескольких переменных

=

Вектор бесконечно малого перемещения

Скалярное произведение вектора градиента и перемещения

=

Из сравнения следует

Формулу для работы можно записать

Работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 вдоль некоторой кривой будет выражаться криволинейным интегралом

= =-q

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

- параллельны

-условие коллинеарности

Матричная форма

=0

Следствие из равенства нулю векторного произведения - каждый компонент результирующего вектора равен нулю

Аналогично для потенциала

Поверхностью уровня – называется геометрическое место точек, в которых скалярная величина имеет одно и тоже значение.

В двумерном случае поверхность уровня называется линией уровня.

Градиент устанавливает связь между скалярными и векторными характеристиками поля.

rot = =

rot =0

div = -/₀

² = div grad =  = -оператор Лапласа

Основные уравнения электростатики

(служат для определения полей)

- следует из закона Кулона

- следует из принципа суперпозиции

- из закона Кулона

-из принципа суперпозиции

-незамкнутость силовых линий

rot =0

div = -/₀ –из теоремы Гаусса(дифференциальная форма)

² = -/₀ – уравнение Пуассона

² =0 – уравнение Лапласа

Интегральная форма уравнений электростатики

- незамкнутость линий напряженности

- теорема Гаусса(интегральная форма)

Энергия системы зарядов

R_ij - расстояние между зарядами; i, j =1,2,….., N;

Очевидно, что =

+

= -потенциал, создаваемый суммой зарядов, кроме одного в точке, где находится последний.

=

Энергия взаимодействия системы зарядов.

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется по формуле:

(30)

Для системы из N зарядов можно записать:

(31)

или

Здесь , так как заряд сам с собой не взаимодействует. Множитель учитывает тот факт, что .

Представим последнее выражение в виде:

Учитывая, что представляет собой потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме в той точке, где помещается заряд , получим энергию взаимодействия системы зарядов:

(32)

Лек.4. Диполь в электрическом поле. Электростатика в веществе. Электрическое поле в диэлектриках. Поляризованность. Диэлектрическая проницаемость. Вектор электрического смещения

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

кратко