2.7. Уравнения электростатики для диэлектриков

Запишем систему уравнений, описывающих электрическое поле в ди­электрике. Эта система составляется из уравнений (1.37) и (2.21):

= (2.28)

Этим интегральным уравнениям соответствуют дифференциальные урав­нения

rot E =0, div D = * (2.29)

Уравнения, выражающие собой законы электростатики, следует допол­нить материальным уравнением

D= E,

Первое из уравнений (2.29) имеет решение

Исключив вектор D из второго уравнения, придем к уравнению для потенциала

div ( grad ) = -* (2.30)

Решив это уравнение, по его решению  = (r) нетрудно найти векторы E, D.

В тех случаях, когда заряды распределены в пространстве симметрич­но, можно заранее предугадать, какими должны быть семейства силовых линий электрического поля. В таких случаях, зная направление векто­ра D электрической индукции, его модуль D можно найти по теореме

Гаусса (2.21) или из уравнения (2.23). Затем следует найти вектор Е и потенциал . После этого можно найти вектор поляризованности и плотности связанных зарядов.

Покажите, что div r = 3

2.9. Условия на границе раздела двух диэлектриков

Пусть некоторая поверхность S является границей раздела двух ди­электриков (рис. 2.8). Будем считать, что на этой поверхности нет сво­бодных зарядов. Построим небольшой цилиндр высотой 2, одна полови­на которого находится в первом диэлектрике, а вторая - во втором. Пло­щадь основания цилиндра равна dS. Применим теорему Гаусса (2.22).

Поток вектора D через всю поверхность цилиндра равен сумме потоков через его основания и боковую поверхность. Поэтому равенство (2.22) примет вид

D₁ n₁ dS + D₂ n₂ dS + Ф_{бок.поверхн.} = Q*

где Ф_{бок.поверхн.} - поток вектора D через боковую поверхность цилиндра.

Устремим  к нулю. При этом поток через боковую поверхность цилин­дра и свободный заряд Q* внутри него обратятся в нуль. Учитывая, что вектор n₂ единичной нормали к одной из сторон поверхности S противо­положен по направлению вектору n₁ нормали к другой ее стороне в той же очке (n₂ = -n₁), придем к уравнению

Dn₁ = Dn₂ D_n1 = D_n2

согласно которому нормальная составляющая вектора электрической ин­дукции при переходе через границу раздела двух диэлектриков не изме­няется.

Рис. 2.8. К выводу граничных условий

Вычислим теперь циркуляцию вектора напряженности электрическо­го поля по небольшому прямоугольному контуру ABCDA (рис. 2.8), две стороны АВ и CD которого параллельны поверхности S, но лежат в раз­ных диэлектриках, а длина двух других сторон AD и ВС стремится к нулю. По теореме о циркуляции (1.37) полученное выражение должно быть равно нулю. Следовательно,

E₁ АВ + Е₂ CD = 0 .

Введем единичный вектор r, касательный к поверхности: r = АВ /АВ. Учитывая, что CD = - АВ, преобразуем уравнение (2.41) к виду

E₁ r₁ = Е₂ r₂ E _r1 = Е _r2

Это равенство утверждает, что тангенциальные (касательные) составля­ющие вектора Е напряженности электрического поля с той и другой стороны поверхности раздела двух диэлектриков одинаковы.