3.10. Плоский конденсатор, заполненный неоднородным диэлектриком

Рассмотрим конструкцию из двух параллельных проводящих пластин, на одной из которых имеется заряд -Q, а на другой - заряд +Q. Эти заряды притягиваются друг к другу. Поэтому они будут распределены некоторым образом на обращенных одна к другой внутренних сторонах пластин. На рис. 3.7 показаны силовые линии электрического поля, со­здаваемого этими зарядами. Если размеры пластин достаточно велики по сравнению с расстоянием d между ними, то заряды будут распре­делены по их внутренним поверхностям почти равномерно. При этом электрическое поле в пространстве между пластинами будет почти од­нородным, а его силовые линии будут прямыми, перпендикулярными пластинам. Только у краев пластин силовые линии будут искривлены.

-Q

D

Рис. 3.7. Электрическое поле плоского конденсатора

Когда расстояние d между пластинами существенно меньше их разме­ров, рассматриваемая конструкция называется плоским конденсатором. В таком случае распределения зарядов на пластинах можно считать рав­номерными, а поле между ними - однородным. Распределения зарядов на пластинах и картина силовых линий не изменятся, если пространство

между пластинами заполнить слоистым диэлектриком, проницаемость которого является функцией расстояния от одной из пластин. Вычислим емкость такого конденсатора.

Проведем ось х перпендикулярно пластинам, а начало отсчета выбе­рем на одной из них. Пусть на плоскости ж = 0 равномерно распределен заряд — Q, а на плоскости х — d - заряд +Q. Пусть диэлектрическая проницаемость s среды, заполняющей пространство между пластинами, зависит только отх : s — е(х). При этом силовые линии электрического поля внутри конденсатора (на достаточном удалении от краев пластин) будут прямыми, параллельными оси х, а вектор электрической индукции будет иметь вид

5* = {£>*, 0,0}, (3.39)

где проекция D_x = D_x{x) является функцией х. Из рис. 3.7 видно, что D_x - отрицательная величина. Найдем функцию D_x = D_x{x) из уравнения (2.22). Так как свободные заряды в диэлектрике отсутствуют, их объемная плотность Q* равна нулю. В таком случае подстановка вектора (3.39) в (2.23) приводит к уравнению

dD_x

Л

dx

(3.40)

из которого вытекает, что электрическая индукция в пространстве, где нет свободных зарядов, в частности между пластинами плоского конден­сатора постоянна:

D_x = const .

Согласно формуле (3.1) электрическая индукция у поверхности провод­ника равна поверхностной плотности <т* свободных зарядов. Если пре­небречь неравномерностями распределения заряда у краев пластин, то поверхностная плотность заряда на них будет

где 5 - площадь пластин. Заряд —Q распределен на внутренней стороне пластины х = 0. Поэтому

D_x = -cr* при 0<x<d. (3.42)

На внешней стороне пластины х = 0 плотность заряда равна нулю и

х < 0.

D_x = 0 при Аналогично можно доказать, что

D_x = 0 при х > d.

Таким образом, поле вне плоского конденсатора отсутствует.

При помощи формулы (2.25) находим проекции вектора напряженно­сти электрического поля на оси координат:

Е_х{х) = -

(3.43)

Ф) '

Е_у — Е₂ = 0 при 0 < х < d.

Теперь найдем зависимость потенциала электрического поля от коор­динаты х. Первое из равенств (1-23) в рассматриваемом случае прини­мает вид

— = -Е_х{х). ' (3.44)

Решением этого уравнения является функция

dx

+ const .

(3.45)

е{х)

Эта функция позволяет найти напряжение на конденсаторе оям

U -<p{d) -<р(0) = <т* / —Аг. (3.46)

Используя соотношения (3.41) и (3.46), по определению (3.23) найдем емкость плоского конденсатора, заполненного неоднородным диэлектри­ком:

(3.47)

По формулам (2.24) и (2.27) найдем проекции вектора поляризованно-сти:

(е-s₀) а*

= _Хе е₀ E_x = (s- s₀) Е_х = - (3.48)

Р_у = P_z = 0 .

Зная поляризованность диэлектрика, можно из уравнения (2.17) найти объемную плотность связанных зарядов:

s₀ <т* ds s² dx(3.49)

Согласно этой формуле поляризация неоднородного диэлектрика сопро­вождается появлением внутри него связанных зарядов.

Напряженность (3.43) электрического поля в плоском конденсаторе, заполненном однородным диэлектриком (е = const), всюду одинакова:

Е_х = = const . (3.50)

При этом согласно формуле (3.48) диэлектрик будет поляризован равно­мерно, т.е. его поляризованность будет всюду принимать одно и то же значение: Р_х = const. Как следует из формулы (3.49), объемная плот­ность связанных зарядов равна нулю: д' = 0. Интегрирование в формуле (3.45) приводит к линейной зависимости потенциала от координаты:

(р(х) = — Е_х х + const . При этом напряжение на конденсаторе

(3.51)

(3.52)

а его емкость

(3.53)

Из формул (3.47) и (3.53) следует, что емкость плоского конденсатора тем больше, чем больше площадь пластин и проницаемость заполняющего его диэлектрика и чем меньше расстояние между пластинами.

3.11. Цилиндрический конденсатор

Два соосных (коаксиальных) проводящих цилиндра, длина / которых много больше радиуса внешнего цилидра, образуют цилиндрический кон­денсатор (рис. 3.8). Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, а внеш­него - Ь, и пространство между цилиндрами заполнено однородным ди­электриком проницаемостью е. Найдем емкость такого конденсатора.

^S

Поместим на внутренний цилиндр заряд +Q, а на внешний - заряд — Q. Эти заряды практически равномерно распределятся по поверхно­стям цилиндров. Так как цилиндры очень длинные, неравномерностями распределения зарядов на их концах и связанными с этими неравномер­ностями искажениями поля можно пренебречь. При этом в силу осевой симметрии системы силовые линии электрического поля будут прямы­ми, перпендикулярными главной оси симметрии конденсатора, а вектор электрической индукции будет иметь вид

D = (г)

где г есть вектор, начинающийся на оси конденсатора, перпендикуляр­ный ей и заканчивающийся в произвольной точке пространства Р между обкладками конденсатора; г - расстояние от точки Р до этой оси. Если направить ось z вдоль оси симметрии цилиндров, то проекция вектора г на эту ось будет равна нулю:

г= {х, у, 0},

а его модуль

г = \Jх² + у²

Проекцию D(r) вектора D на вектор г найдем при помощи теоремы Гаусса (2.22). Для этого вычислим поток электрической индукции через поверхность S воображаемого цилиндра радиуса г и высоты h (рис. 3.8). Основания 1 и 2 этого цилиндра образованы силовыми линиями. По­этому потоки через них равны нулю. Поток через боковую поверхность, которая является эквипотенциальной,

Ф_о= I ~DdSf = IDdS = D f dS = D-2irrh.

s s s

Свободный заряд внутри рассматриваемого цилиндра равен нулю, если его радиус г меньше а или больше Ь, Поэтому поле существует только в пространстве между цилиндрическими обкладками конденсатора. При а < г < b заряд внутри поверхности S равен заряду Qh/l, который распределен на части поверхности малого цилиндра, заключенной между сечениями 1 ж 2. По теореме Гаусса найдем

Радиальная составляющая вектора напряженности

Распределение потенциала найдем, проинтегрировав это выражение:

<p(r) = - / E(r) dr=-

При этом напряжение на конденсаторе будет

Ln r + const

Отсюда следует, что емкость цилиндрического конденсатора

3.12. Основная задача электростатики. Теорема единственности

Если заданы значения электрических зарядов и их расположение в пространстве, то при помощи закона Кулона и принципа суперпозиции можно вычислить для любой точки пространства потенциал и напряжен­ность поля, создаваемого этими зарядами. Причем как потенциал, так и напряженность поля в каждой точке пространства принимают только одно значение. Как говорят в математике, задача имеет единственное ре­шение. Если же значение или расположение хотя бы одного из зарядов, создающих искомое электрическое поле, неизвестны, то такая задача мо­жет иметь много различных решений. При расчетах электрических полей

или уравнение Лапласа

когда в области, где существует искомое электрическое поле, нет заря­дов. Решение этих уравнений является основной задачей электростати­ки. В математической физике доказана так называемая теорема един­ственности, согласно которой эта задача имеет единственное решение, т.е. только одно распределение потенциала в некоторой области про­странства G существует и может быть найдено, когда известны элек­трические заряды и их расположение в этой области, а также известны значения потенциала в каждой точке поверхности 5, ограничивающей область G. Если поверхность S уходит в бесконечность, то там потен­циал должен быть равен нулю. В математике задача, в которой иско­мая функция подчиняется определенным граничным условиям, т.е. при­нимает заданные значения на границе некоторой области, называется краевой, или граничной задачей. Итак, краевая задача для уравнений Пуассона и Лапласа имеет единственное решение.

Рассмотрим изолированный проводник в постоянном электрическом поле. Как было показано в разделе 3.1, в этом случае напряженность поля в проводнике будет равна нулю, а потенциал будет в любой точке проводника принимать одно и то же значение. Пусть внутри проводника имеется полость произвольной формы. Если в полости и на ее стенках нет свободных электрических зарядов, то потенциал в любой точке на стенках полости будет принимать одно и то же значение. Распределение Потенциала поля в полости можно найти из уравнения Лапласа. Пред­положим, что потенциал всюду в полости принимает то же самое значе­ние, что и на ее стенках: <р = Const. Очевидно, что функция <р = const является решением уравнения Лапласа. В силу теоремы единственности именно это решение описывает реально существующее электрическое по­ле в полости проводника. Точнее будет сказать несуществующее поле, так как при <р = const напряженности электрического поля равна нулю. Итак, при внесении проводника с полостью в постоянное электрическое поле происходит удивительное явление. Поле не может проникнуть в полость. Наведенные полем электрические заряды всегда так распреде­ляются по внешней поверхности проводника, что создаваемое ими элек­трическое поле в полости и в самом проводнике "компенсирует" внешнее поле.

3.13. Электрическое поле точечного заряда, расположенного около заземленной плоскости

Рассмотрим пример, когда применение теоремы единственности дает возможность найти простое решение одной сложной задачи электроста­тики. Точечный заряд Q находится на некотором расстоянии h от беско­нечной проводящей плоскости (рис. 3.9). Пусть этот заряд будет поло­жительным. Тогда на поверхности плоскости будет некоторым образом распределен индуцированный отрицательный заряд, возникающий из-за присутствия у поверхности заряда Q. Требуется найти электрическое поле, создаваемое этими зарядами.

Пусть потенциал <р на плоскости всюду равен нулю. В реальных опы­тах этого можно достичь, заземлив проводник, т.е. соединив его с землей. Потенциал в пространстве над плоскостью можно найти из уравнений Пуассона и Лапласа. Таким образом, пришли к граничной задаче, решение которой нельзя назвать очень простым. Однако существует очень простой метод решения подобных задач.

Рис. 3.9. Силовые линии электрического поля точечного заряда, расположенного над заземленной проводящей плоскостью

Рассмотрим два заряда Q и -Q, расположенные на расстоянии 2h один от другого (рис. 3.10). Пусть S - плоскость, которая проходит через середину отрезка, соединяющего заряды так, что он перпендику­лярен к ней. Произвольная точка Р плоскости S находится на равных расстояниях от зарядов. Поэтому потенциал в любой точке этой плос­кости равен нулю:

Рис. 3.10. Два заряда

Таким образом, потенциал в полупространстве над плоскостью 5 удо­влетворяет тем же граничным условиям, что в краевой задаче о поле, создаваемом зарядом Q, который расположен над заземленной проводя­щей плоскостью. В силу теоремы единственности электрическое поле, создаваемое двумя зарядами Q и -Q в в полупространстве над плоско­стью 5 совпадает с полем, которое создает один заряд Q, расположенный над заземленной проводящей плоскостью.

Существуют системы зарядов, электрические поля которых очень про­сто рассчитать. К таким системам относятся системы, состоящие из не­большого числа точечных зарядов, и системы зарядов, которые распреде­лены в пространстве непрерывно и симметрично. Пусть для одной из та­ких систем найдено распределение потенциала в пространстве. Выделим одну из эквипотенциальных поверхностей 5. Пусть на этой поверхности потенциал равен <ps Заполним проводящей средой часть пространства, ограниченную поверхностью S. Поверхность проводника является также эквипотенциальной. Если значение потенциала проводника равно <ps, то электрическое поле в свободном от проводника пространстве будет таким же, каким оно было до его внесения.

Задача 1. Пространство между плоскостями х = -а и х = а заполнено однородным диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого равна . В пространстве между плоскостями х = -аиx = 0 равномерно с плотностью * распределен свободный заряд. Найти элек­трическую индукцию D, напряженность электрического поля Е, потен­циал , поляризованность Р, объемную ' и поверхностную ' плотно­сти связанных зарядов.

Задача 2. Бесконечный цилиндр радиуса R, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью е, заряжен равномерно по объему. При этом объемная плотность свободных зарядов равна *. Найти электри­ческую индукцию D, напряженность электрического поля Е , потенци­ал , поляризованность Р, объемную ' и поверхностную ¹ плотности связанных зарядов.

Задача 3. Шар радиуса R, изготовленный из диэлектрика с проницаемостью , заряжен равномерно по объему. Заряд шара равен Q. Найти энергию шара.

Задача 4. Цилиндрический конденсатор длиной l, радиусы об­ кладок которого равны а и b, заряжен до разности потенциалов U. Конденсатор заполнен веществом с проницаемостью . Найти энергию, за­ пасенную в конденсаторе.