Напряжённость как градиент потенциала. Эквивалент потенциальной поверхности.

Найдём взаимосвязь между напряжённостью электростатического поля (его силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика).

(Рисунок)

Работа по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

(24)

(25)

Для трехмерного случая получим:

(26)

где - единичные векторы координат x, y, z.

Выражение (26) можно представить в виде:

(27)

Знак минус показывает, что вектор напряжённости направлен в сторону меньшего потенциала.

В большинстве случаев найти потенциал поля, а затем рассчитать вектор напряжённости.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями, в большинстве точек которых потенциал постоянен.

(Рисунок)

Вектор напряжённости всегда перпендикулярен касательной эквипотенциальных поверхностей в точках их пересечения.

(Рисунок)

Чем гуще распределены эквипотенциальные поверхности, тем больше величина напряжённости электростатического поля.

У острия напряжённость больше, поэтому заряды стекают с острия.

Примеры расчёта потока в вакууме.

1. Поле двух бесконечно параллельных пластин, которые заряжены разноимённо, определяется по формуле:

, где - поверхностная плотность заряда.

(Рисунок)

- разность потенциалов между плоскостями.

2. Поле равномерно заряженной сферической поверхностью радиуса R, заряда q вычисляется по формуле:

при .

Разность потенциалов между произвольной точкой поля и поверхностью сферы будет равна:

В поле, создаваемом точечным зарядом, действует сила, являющаяся центральной. Центральное поле сил консервативно

Потенциал. Потенциал электрического поля.

 - отношение потенциальной энергии точечного пробного заряда, помещённого в другую точку поля, к величине этого заряда.

Д окажем консервативность сил и потенциальность электрических сил поля.

(Рисунок)

Связь между напряжённостью и потенциалом.

= -=₁ - ₂

Рассмотрим выражения для напряженности в дифференциальном виде:

=0 = ₁ - ₂ , ₁ = ₂.

Интеграл по замкнутому контуру для напряженности (циркуляция вектора напряженности) равен нулю, поскольку потенциалы начальной и конечной точек равны.

(Рисунки)

Дивергенция и ротор электростатического поля.

Поток вектора напряженности через поверхность равен интегралу по этой поверхности от напряженности

Заменяя по теореме Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл объёмным, получим:

Подставив вместо его значение из (13), получим:

Интегралы равны, следовательно равны и подынтегральные выражения. Так получим теорему Гаусса для вектора напряжённости электростатического поля:

(14)

(14) – первое фундаментальное уравнение электростатики.

Так как , то

=0 ( - произведение векторное) (15)

(15) - второе основное уравнение электростатики.

Оба основных уравнения электростатики эквивалентны закону Кулона, так как сила поля изменяется по закону .

Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал

Для получения используют теорему Остроградского.

- дивергенция.

div v =

, где

Элементы математической теории поля.

Полем называется волна, зависящая от положения в пространстве (является функцией координат). Поле называется стационарным, если оно не меняется с течением времени.

Скалярное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется одним единственным числом (например, температурное поле).

Векторное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором (например, поле скоростей в потоке жидкости).