13.3. Принцип Даламбера

Все методы решения задач динамики, которые ранее рассматривались, основываются на уравнениях, вытекающих из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствием этих законов. Оказывается, что уравнения движения или условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики.

Пусть имеется система, состоящая из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек с массой m_k. Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил и (в которые входят и активные силы, и реакции связей) точка получает по отношению к инерциальной системе отсчёта некоторое ускорение .

Введём в рассмотрение величину

, (13.7)

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы на её ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки.

Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим свойством: если в каждый момент времени к фактически действующим на точку силам и прибавить силу инерции , то полученная система сил будет уравновешенной, т. е. будет

. (13.8)

Это положение выражает принцип Даламбера для одной материальной точки.

Принцип Даламбера применим и для системы материальных точек и тел: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на неё внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно применять все уравнения статики.

Движение механической системы материальных точек или тел зависит от её суммарной массы и распределения масс. О распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести, который совпадает с центром масс, или центром инерции механической системы. Для полного описания влияния движения твёрдого тела в механике введены ещё две характеристики: момент инерции тела относительно оси и радиус инерции.

Даламбер ввёл понятие «сила инерции» и предложил более простой и удобный для решения задач динамики метод, называемый принципом Даламбера.

Задачи для самостоятельного решения

З адача 13.1. (Рис. 13.2). Определить момент инерции J_y тонкого однородного стержня массой m = 2 кг относительно оси Oy, если длина l = 1 м. (Ответ: J_y = 0,292 кгм²).

Задача 13.2. (Рис. 13.3). Определить осевые J_x и J_y моменты инерции однородной прямоугольной пластинки массой m = 2 кг относительно осей x и y, если а = 2 см, b = 1 см.

(Ответ: J_x = 1,07·10^-3 кгм²; J_y = 2,7·10^-4 кгм²).

Задача 13.3. (Рис. 13.4). Определить момент инерции J_y относительно оси Oy механической системы, состоящей из трёх одинаковых материальных точек, если радиус r = 0,6 м, а масса каждой точки m = 3 кг. (Ответ: J_y = 1,62 кгм²).

Задача 13.4. (Рис. 13.5). Определить радиус ρ_и инерции однородного цилиндра относительно оси Oz, если его радиус R = 0,4 м. (Ответ: ρ_и = 0,283 м).

Вопросы для самопроверки

1. Что называют механической системой материальных точек (тел)?

2. Чему равна масса системы материальных точек?

3. Как определяются координаты центра масс?

4. Что называют моментом инерции тела относительно оси? Единицы измерения. Радиус инерции.

5. Что называют силой инерции?

6. Сформулируйте принцип Даламбера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теоретическая механика является первой технической дисциплиной, входящей в цикл общеинженерных дисциплин и изучаемой студентами специальности «Сервис» в курсе «Основы функционирования систем сервиса», В рассматриваются основы « Теории механизмов и машин», «Сопротивления материалов» и «Детали машин и основы конструирования».

Немыслимо изучение сопротивления материалов без знания основ теоретической механики: аксиом статики, свойств сил и пар сил, условий равновесия системы сил, методов сложения сил и приведения системы сил к главному вектору и главному моменту, определения реакций связей и т. д. В свою очередь, при изучении дисциплины «Детали машин и основы конструирования» используются методы сопротивления материалов.

Также невозможно изучение теории механизмов и машин без знания основных понятий и определений, излагаемых в разделах кинематики и динамики курса теоретической механики. К ним относятся: способы задания движения точки и её траектория; способы определения скорости и ускорения точки и абсолютно твёрдого тела при его поступательном, вращательном и сложном плоскопараллельном движениях; понятия о работе силы и мощности, теоремы динамики точки и систем; теорема об изменении количества движения точки и систем, теорема об изменении кинетической энергии точки и систем.

Полученные знания могут быть использованы при изучении специальных дисциплин, а также в практической деятельности специалиста «Сервиса».

Круг проблем, рассматриваемых в курсе «Теоретическая механика», встречаются на каждом шагу в практической деятельности человека. Теоретическая механика широко применяется в технике. На базе теоретической механики возникли и успешно развиваются многие науки, такие, как теория упругости, гидродинамика, газовая динамика и другие. В этих науках обычно к законам механики добавляются другие законы, характеризующие дополнительные свойства материальных тел.

Основные понятия, термины и определения статики материальной точки и твёрдого тела, их кинематики и динамики входят в словарный фонд всех механико-машиностроительных дисциплин, изучаемых студентами специальности 100101 Сервис, а именно в курсе «Основы функционирования систем сервиса» в соответствии с рабочими программами.