8. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела

Поступательное движение твёрдого тела. Вращательное движение твёрдого тела вокруг оси. Равномерное и равнопеременное вращение. Скорости и ускорения точек вращающегося тела [1, с. 117–126; 2, с. 103–112; 3, с. 229–240; 4, с. 45–48].

8.1. Поступательное движение твёрдого тела

К простейшим движениям твёрдого тела относятся поступательное и вращательное движения.

П оступательным называется такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, проведённая в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. На рис. 8.1 показан механизм, у которого при вращении кривошипов О₁А и О₂В (О₁А = О₂В) звено АВ движется поступательно (любая проведённая в нём прямая остаётся параллельной её начальному направлению).

Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми.

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Из теоремы следует, что поступательное движение твёрдого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки. При поступательном движении векторы и можно изображать приложенными к любой точке тела. Это справедливо только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями.

8.2. Вращательное движение твёрдого тела вокруг оси

Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, остаются во всё время движения неподвижными (рис. 8.2). Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

При вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижными, а все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Д ля определения положения вращающегося тела проведём через ось вращения Аz две полуплоскости: полуплоскость I – неподвижную и полуплоскость II, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой момент времени будет однозначно определяться взятым с соответствующим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который называют углом поворота тела. Угол φ считают положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измеряется угол поворота всегда в радианах.

Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т. е.

. (8.1)

Уравнение (8.1) выражает закон вращательного движения твёрдого тела.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твёрдого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет численно равна

.

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение ω_ср, когда промежуток времени Δt стремится к нулю:

или . (8.2)

Таким образом, угловая скорость в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени.

Размерность угловой скорости радиан/время или 1/время, так как радиан – величина безразмерная; в качестве единицы измерения обычно применяется 1/с = с^-1.

У гловую скорость можно изобразить в виде вектора (рис. 8.3), который направлен в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки. Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг оси.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени Δt угловая скорость тела изменяется на величину , то среднее угловое ускорение тела за этот промежуток времени численно равно

.

Угловым ускорением тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение ε_ср, когда промежуток времени Δt стремится к нулю:

(8.3)

или, принимая во внимание равенство (8.2),

. (8.4)

Таким образом, угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени.

Размерность углового ускорения – 1/время². В качестве единицы измерения обычно принимают 1/с² = с^-2.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение называется ускоренным (рис. 8.3а), а если убывает – замедленным (рис. 8.3б). Вращение ускоренное, когда направления скоростей и ускорений совпадают, и замедленное – когда они противоположны по направлению.