3.4. Условия равновесия плоской системы параллельных сил

Если силы перпендикулярны к какой-либо оси (х), то уравнение превращается в тождество . Для определения неизвестных сил остаётся два уравнения, которые можно представить в двух формах.

Первая форма условий равновесия:

, , (3.12)

т. е. для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма всех сил и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки О равнялись нулю.

Вторая форма условий равновесия

, (3.13)

т. е. для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно двух произвольных точек А и В равнялись нулю.

3.5. Равновесие системы тел

Во многих случаях приходится рассматривать условия равновесия конструкции, состоящей из нескольких тел, соединённых какими-нибудь связями.

С вязи, соединяющие части данной конструкции, называются внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в неё не входящими (например, с опорами). Таким примером может служить трёхшарнирная арка (рис. 3.2).

Для определения реакций связи такую конструкцию мысленно расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия для каждого из тел в отдельности. При этом реакции внутренних связей будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Если для данной конструкции число всех реакций связей будет больше числа уравнений, в которые входят реакции, то конструкция будет статически неопределимой.

3.6. Распределённые силы

В действительности часто силы бывают приложены к какой-либо части объёма тела или его поверхности, а иногда к некоторой части линии. Такие силы (нагрузки) называются распределёнными. Для упрощения решения задач рассмотрим способы перехода от распределённых нагрузок к сосредоточенным силам в простейших случаях.

Интенсивность q распределённой нагрузки – это сила, приходящаяся на единицу длины линии, поверхности или объёма. Чаще встречаются параллельные и сходящиеся распределенные силы.

Рассмотрим линейные, или погонные силы, распределённые на некотором отрезке АВ = l (рис. 3.3):

– силы, равномерно распределённые вдоль отрезка прямой (равномерно – распределённая нагрузка) (рис. 3.3а). В этом случае равнодействующая равна площади прямоугольника

(3.14)

а линия её действия проходит через центр тяжести прямоугольника, т. е. через точку С, делящую АВ пополам;

– силы, распределённые вдоль отрезка прямой по линейному закону (рис. 3.3б): равнодействующая равна площади треугольника и проходит через центр тяжести треугольника, находящегося на расстоянии, равном .

Силу, приложенную к абсолютно твёрдому телу в какой-либо точке тела, можно, не изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей самой в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом (присоединённая пара), равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Плоскую систему сил можно приводить к данному центру, заменяя её эквивалентной системой, состоящей из главного вектора и главного момента .

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно любого произвольно выбранного центра О равнялись нулю. Для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия.

Линейно распределённые нагрузки можно заменять сосредоточенными силами, прикладываемыми в центре тяжести фигуры, образованной графиком распределения интенсивности нагрузки и осями xOy.

Задачи для самостоятельного решения

З адача № 3.1. Определить главный вектор плоской системы сил, если заданы его проекции на координатные оси. R_x = 300Н,

R_y = 400 Н. (Ответ: 500 Н).

Задача № 3.2. (Рис. 3.4). За центр приведения данной системы сил выбрана точка, расположенная на оси О_у, в которой главный момент равен нулю. Определить ординату этой точки, если силы F₁ = F₂ = F₃= 1 Н, F₄ = 2 Н, радиус r =1м. (Ответ: y = 1,0 м).

З адача № 3.3. (Рис. 3.5). К вершинам прямоугольного треугольника приложены силы F₁ = 3 Н, F₂ = 6 Н, F₃ = 14 Н. Определить значение угла α в градусах, при котором главный вектор данной системы сил параллелен оси О_х. (Ответ:α = 30^°).

Задача № 3.4. (Рис. 3.6). К прямоугольнику приложены четыре силы по 10 Н каждая. Определить модуль главного вектора заданной системы сил, если угол α = 60°. (Ответ: R = 22,4 H).

Задача № 3.5. На закрепленную балку действует плоская система параллельных сил. Сколько независимых уравнений равновесия балки можно составить? (Ответ: два уравнения).

З адача № 3.6. (Рис. 3.7). На балку АВ действуют вертикальные силы F₁ = 1 кН, F₂ = 2 кН и F₃ = 3 кН. Определить реакцию опоры В, если расстояния AC = CD = E= 1 м, ВЕ = 2 м. (Ответ: R_B=1,2 kH).

З адача № 3.7. (Рис. 3.8). На балку АВ действуют силы F = 9 Н и распределённая нагрузка интенсивностью q = 3 кН/м. Определить реакцию опоры В, если длины АВ = 5 м, ВС = 2 м. (Ответ: R_B=10,2 kH).

Задача № 3.8. На закрепленную балку действует произвольная плоская система сил. Сколько независимых уравнений равновесия балки можно составить?

(Ответ: 3 уравнения).

З адача № 3.9. (Рис. 3.9). Определить реакцию опоры D если силы F₁ = 84,6 Н, F₂ = 208 Н, размеры АВ = 1 м, ВС = 3м, CD = 2 м, углы α = 45^°, β = 60^°. (Ответ: R_D=130 kH).

Задача № 3.10. (Рис. 3.10). К балке AD приложена пара сил с моментом М = 200 Нм, распределенная нагрузка интенсивностью q = 20 Н/м и сила . Какой должна быть эта сила, для того чтобы момент в заделке А равнялся 650 Нм, если размеры AB= BC=CD = 2 м. (Ответ: R_D=144 kH).

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о параллельном переносе сил.

2. Центр приведения, главный вектор и главный момент системы сил.

3. Приведите формулы, по которым определяют главный вектор и главный момент системы сил.

4. Три формы уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.

5. Условия равновесия плоской системы параллельных сил.

6. Равновесие системы тел.

7. Распределённые силы, их виды.