6. Силы тяжести. Центр тяжести

Система параллельных сил и её центр. Сила тяжести. Центр тяжести тела. [1, с. 86–94; 2, с. 78–87; 3, с. 179–198; 4, с. 29–30].

6.1. Центр параллельных сил

П онятие о центре параллельных сил возникает при решении некоторых задач механики и, в частности, при определении центров тяжести тел.

Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил , ,…, , приложенных к твёрдому телу в точках А₁, А₂,…, А_n (рис. 6.1). Очевидно, что эта система имеет равнодействующую , направленную так же, как слагаемые силы, причём по модулю

. (6.1)

Если теперь каждую из сил системы поворачивать около её точки приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то будем получать новые системы одинаково направленных сил с теми же модулями и точками приложения, но с другим общим направлением.

Равнодействующая каждой из таких систем параллельных сил, очевидно, будет иметь тот же модуль R, но всякий раз другую линию действия.

Можно показать, что при всех таких поворотах линия действия равнодействующей всегда проходит через одну и ту же точку С.

Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Положение точки С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы координат не зависит. Её координаты определяют по формулам:

. (6.2)

где , , – координаты точек приложения сил .

Следует отметить, что формула (6.2) будет справедлива и для параллельных сил, направленных в разные стороны, если считать силы величинами алгебраическими(для одного направления со знаком плюс, а для другого – минус) и если при этом .

6.2. Центр тяжести твёрдого тела

На любое тело, находящееся вблизи земной поверхности, действует сила притяжения, направленная к центру Земли. Эту силу называют силой тяжести. Линии действия сил тяжести всех частиц тела практически пересекаются в одной точке – центре Земли. Однако так как линейные размеры любого тела значительно меньше радиуса Земли, то можно считать, что силы тяжести частиц тела параллельны.

Равнодействующая системы параллельных сил тяжести отдельных частиц тела будет эквивалентна силе тяжести всего тела.

Равнодействующую сил тяжести частиц G₁, G₂,…,G_n данного тела обозначим G. Модуль этой силы равен весу тела и определяется по формуле:

. (6.3)

Эта равнодействующая будет при любых положениях тела проходить через одну и ту же неизменно связанную с телом точку С, являющуюся центром параллельных сил тяжести G_k. Эта точка называется центром тяжести тела.

Координаты центра тяжести определяются по формулам:

, (6.4)

где , , – координаты точек приложения сил тяжести частиц тела.

Следует отметить, что центр тяжести – это точка геометрическая: она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).

Равнодействующая системы параллельных сил равна их сумме и проходит всегда через одну точку, называемую центром параллельных сил.

Силу притяжения любого тела, находящегося вблизи земной поверхности, направленную к центру Земли, называют силой тяжести. Центром тяжести тела является центр параллельных сил тяжести отдельных частей тела.

Задачи для самостоятельного решения

З адача № 6.1. Определить в см координату х_c центра тяжести прямолинейного однородного стержня АВ, если заданы координаты точек А и В: х_А = 10 см; х_В = 40 см.

(Ответ: х_c = 25см).

Задача № 6.2. (Рис. 6.2). Кронштейн ABD состоит из однородных стержней АВ и BD с одинаковым линейным весом. Какова должна быть длина в см стержня АВ, чтобы координата х_c центра тяжести кронштейна равнялась нулю, если BD = 20 см.

(Ответ: х_c = 28,3 см).

Задача № 6.3. Определить в см координату х_c центра тяжести однородной пластины, которая имеет вид прямоугольного треугольника ABD если известны координаты вершин х_А = х_В = 3 см; х_D = 9 см. (Ответ: х_c = 5 см).

Задача № 6.4. (Рис. 6.3). Определить координату y_c центра тяжести площади фигуры ABCDEG, стороны которой параллельны координатным осям. Размеры на рисунке заданы в м. (Ответ: y_c = 1,19 м)

Вопросы для самопроверки

1. Что называют центром параллельных сил?

2. Равнодействующая и центр системы параллельных сил.

3. Приведите формулы для определения координат центра параллельных сил.

4. Сила тяжести. Определение координат центра тяжести твёрдого тела.

КИНЕМАТИКА