- •С. Г. Иванов основы функционирования систем сервиса Теоретическая механика
- •Предисловие
- •Основные понятия и исходные положения статики
- •1.1. Основные понятия статики
- •1.2. Аксиомы статики
- •1.3. Виды сил
- •1.4. Связи и их реакции
- •2. Сложение сил. Система сходящихся сил
- •2.1. Геометрический способ сложения сил.
- •2.2. Разложение сил
- •2.3. Проекция силы на ось и на плоскость
- •2.4. Аналитический способ задания сил
- •2.5. Аналитический способ сложения сил
- •2.6. Равновесие системы сходящихся сил
- •2.7. Статически определимые и неопределимые системы
- •2.8. Момент силы относительно центра (или точки)
- •2.9. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •2.10. Сложение и разложение параллельных сил, расположенных
- •3. Произвольная плоская системы сил
- •3.1. Теорема о параллельном переносе сил
- •3.2. Приведение произвольной системы сил к данному центру
- •3.3. Условия равновесия плоской системы сил
- •3.4. Условия равновесия плоской системы параллельных сил
- •3.5. Равновесие системы тел
- •3.6. Распределённые силы
- •4. Трение
- •4.1. Трение скольжения
- •4.2. Трение качения
- •5. Системы пар и сил в пространстве
- •5.1. Момент пары сил. Момент силы относительно оси
- •5.2. Сложение сил, произвольно расположенных в пространстве. Условия равновесия
- •6. Силы тяжести. Центр тяжести
- •6.1. Центр параллельных сил
- •6.2. Центр тяжести твёрдого тела
- •7. Кинематика точки и твёрдого тела
- •7.1. Введение в кинематику. Способы задания движения точки
- •7.2. Кинематика точки
- •7.2.1. Естественный способ
- •7.2.2. Координатный способ
- •7.2.3. Переход от координатного способа задания движения
- •7.3. Скорость точки
- •7 .3.1. Естественный способ задания движения
- •7.3.2. Координатный способ задания движения
- •7.4. Ускорение точки
- •7.4.1. Естественный способ задания движения
- •7.4.2. Координатный способ задания движения
- •8. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела
- •8.1. Поступательное движение твёрдого тела
- •8.2. Вращательное движение твёрдого тела вокруг оси
- •8.2.1. Равномерное и равнопеременное вращение
- •8.2.2. Скорости и ускорения точек вращающегося тела
- •9. Плоскопараллельное движение твёрдого тела
- •9.1. Уравнение плоскопараллельного движения.
- •9.2. Определение траекторий точек тела
- •9.3. Определение скоростей точек тела
- •9.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
- •9.5. Определение скоростей точек тела
- •9.6. План скоростей
- •9.7. Определение ускорений точек тела
- •10. Введение в динамику. Законы динамики. Уравнение движения
- •10.1. Основные понятия и определения
- •10.2. Законы динамики
- •10.3. Система единиц
- •10.4. Задачи динамики
- •10.5. Дифференциальное уравнение движения точки
- •11. Общие теоремы динамики точки
- •11.1. Количество движения и кинетическая энергия точки
- •11.2. Импульс силы
- •11.3. Теорема об изменении количества движения точки
- •11.4. Работа силы. Мощность
- •11.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •12. Прямолинейные колебания точки
- •12.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления
- •12.2. Вынужденные колебания. Резонанс
- •13. Динамика систем
- •13.1. Механическая система
- •13.2. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции
- •13.3. Принцип Даламбера
- •Библиографический список
- •Словарь терминов и определений
- •Алфавитно-предметный указатель
- •Сергей Гаврилович Иванов основы функционирования систем сервиса
- •644099, Омск, ул. Красногвардейская, 9
9. Плоскопараллельное движение твёрдого тела
Уравнение плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное. Определение траекторий и скоростей точек тела. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела. Определение скоростей точек тела с помощью мгновенного центра скоростей. План скоростей. Определение ускорений точек тела [1, с. 127–146; 2, с. 113–130; 3, с. 241–265; 4, с. 49–50].
9.1. Уравнение плоскопараллельного движения.
Разложение движения на поступательное и вращательное
П лоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твёрдого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П (рис. 9.1). Плоское движение совершают многие детали механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оxy, параллельной плоскости П. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ', перпендикулярной к сечению S, т. е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости Oxy. В дальнейшем будем плоскость Oxy совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение.
Положение сечения S в плоскости Oxy определяется, очевидно, положением какого-нибудь проведённого в этом сечении отрезка АВ (рис. 9.2).
В свою очередь, положение отрезка АВ можно определить, зная координаты и точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью Ox.
Точку А, выбранную для определения положения сечения S, называют полюсом.
При движении тела величины xA, yA и φ будут изменяться. Чтобы знать закон движения тела, т. е. знать его положение в пространстве в любой момент времени, надо знать зависимости:
, , . (9.1)
Уравнения (9.1), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в её плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твёрдого тела.
П лоскопараллельное движение состоит из поступательного и вращательного. Поступательное движение описывается первыми двумя уравнениям (9.1). а вращательное – третьим.
Рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение S движущегося тела в момент времени t1 и t2 = t1 + Δt (рис. 9.3) Сечение S, а с ним и всё тело можно привести из положения I в положение II следующим образом. Переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А1, двигаясь вдоль своей траектории, пришёл в положение А2 (при этом отрезок А1В1 займёт положение ), а затем повернём сечение вокруг полюса А2 на угол Δφ1. Таким же путём можно переместить тело из положения II в следующее и т. д.
Таким образом, плоскопараллельное движение твёрдого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же , как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.
В качестве полюса можно выбирать любую точку фигуры сечения. При изменении точки принимаемой за полюс, характеристики поступательной части движения изменяются (скорость и ускорение другой точки фигуры сечения в общем случае будут отличаться от и ), а характеристики вращательной части движения ω и ε останутся неизменными (так как любая прямая сечения, параллельного плоскости П (рис. 9.1), при плоскопараллельном движении твёрдого тела поворачивается на один и тот же угол). плоскопараллельного движения описывается первыми двумя уравнениями (9.1), а вращательная – третьим уравнением. Следует отметить, что вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.
Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса (vпост = vA, aпост = аА), а также угловая скорость ω и угловое ускорение ε вращательного движения вокруг полюса. Значение этих характеристик в любой момент t времени можно найти по уравнениям (9.1).
При изучении движения в качестве полюса можно выбирать любую точку тела.