12. Прямолинейные колебания точки

Свободные колебания без учёта сил сопротивления. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Резонанс. [1, с. 232–241; 2, с. 177–196; 3, с. 285–325; 4, с. 61 – 71].

12.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления

У чение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих колебаний во всех случаях описываются одними и теми же уравнениями.

Рассмотрим точку М (рис. 12.1), движущуюся прямолинейно под действием одной только восстанавливающей силы , направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от этого центра.

Проекция силы на ось Ox будет равна

. (12.1)

Сила , как видим, стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F = 0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила.

Составляя дифференциальное уравнение движения (10.5), найдём закон движения точки М:

.

Деля обе части равенства на m и вводя обозначение

, (12.2)

приведём уравнение к виду:

. (12.4)

Уравнение (12.4) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде . Полагая в уравнении (12.4) , получим для определения n так называемое характеристическое уравнение, имеющее в данном случае вид . Поскольку корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми ( ), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (12.4) имеет вид:

, (12.5)

где С₁ и С₂ – постоянные интегрирования.

Если вместо постоянных С₁ и С₂ ввести постоянные A и α, такие, что , то получим или

. (12.6)

Это другой вид решения уравнения (12.4). Им удобно пользоваться для общих исследований.

Скорость точки в рассматриваемом движении равна

. (12.7)

Колебания, совершаемые точкой по закону (12.6), называются гармоническими колебаниями.

Величина A, равная наибольшему отклонению точки М от центра колебаний, называется амплитудой колебаний.

Промежуток времени Т, в течении которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний:

. (12.8)

Величина , обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний:

. (12.9)

Так как величина k отличается от ν только множителем 2π, то её обычно для краткости называют частотой колебаний.

12.2. Вынужденные колебания. Резонанс

Рассмотрим случай, когда на точку, кроме восстанавливающей силы , действует ещё периодически изменяющаяся со временем сила , проекция которой на ось Ox равна

. (12.10)

Эта сила называется возмущающей силой. Величина р в равенстве (12.10) является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем или по какому-либо другому закону. Рассмотрим случай, когда Ox определяется равенством (12.10). Такая возмущающая сила называется гармонической.

Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид:

.

Разделим обе части этого уравнения на m и обозначим

. (12.11)

Тогда, учитывая обозначения (12.2) , приведём уравнение движения к виду:

. (12.12)

Уравнение (12.12) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления.

Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений будет , где x₁ – любое решение уравнения без правой части, т. е. решение уравнения (12.4), задаваемое равенством (12.6), а x₂ – какое-нибудь частное решение полного уравнения (12.12).

Полагая, что , ищут решение x₂ в виде

,

где B – постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство (12.12) обратилось в тождество. Подставляя значение x₂ и его второй производной в уравнение (12.12), будем иметь:

.

Это равенство выполняется при любом t, если

,

откуда

.

Таким образом, искомое частное решение будет

. (12.13)

Так как , то общее решение уравнения (12.12) имеет окончательный вид:

, (12.14)

где а и α – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям.

Решение (12.14) показывает, что колебания точки складываются в этом случае из колебаний:

– с амплитудой A (зависящей от начальных условий) и частотой к, называемых собственными колебаниями;

– с амплитудой B (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колебаниями.

Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных сопротивлений, собственные колебания будут довольно быстро затухать. Поэтому основное значение в рассматриваемом движении имеют вынужденные колебания, закон которых даётся уравнением (12.13).

В случае, когда , т. е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний может неограниченно возрастать.

При действии на движущуюся точку восстанавливающей силы, направленной к неподвижному центру, возникают колебания. Колебания бывают свободные и вынужденные. Они описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Колебания характеризуются амплитудой, периодом и частотой.

Колебание точки в случае действия возмущающих сил складываются из собственных и вынужденных колебаний.

В случае совпадения частот собственных с вынужденными наступает явление, называемое резонансом, при котором амплитуда вынужденных колебаний может неограниченно возрастать.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 12.1. Малые колебания механической системы описываются дифференциальным уравнением , (q – обобщённая координата, м). Начальное смещение системы q₀ = 0.02 м, начальная скорость . Определить амплитуду колебаний. (Ответ: А = 0,16 м).

Задача 12.2. Определить период свободных колебаний механической системы, если дифференциальное уравнение этой системы имеет вид (q – обобщённая координата, м). (Ответ: Т =1,64 с).

Вопросы для самопроверки

1. Дифференциальное уравнение прямолинейных свободных колебаний при отсутствии сопротивления и его решения. Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебаний.

2. Вынужденные колебания. В чём их отличие от свободных колебаний?

3. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления и его решение.

4. В каких случаях возникает резонанс?