9.6. План скоростей

С корости точек тела можно определить графически, построением планов скоростей. Планом скоростей называется диаграмма, на которой от некоторого центра отложены векторы скоростей точек тела. Пусть , , − скорости точек А, В, С данного тела (рис. 9.12а). Тогда получим соответствующий план скоростей, отложив от некоторого центра р (полюса плана скоростей) в выбранном масштабе отрезки , , (рис. 9.12б).

Установим свойства и правила построения плана скоростей. По формулам (9.3) и (9.4) имеем

, (9.9)

где

. (9.10)

Но из видно, что или . Сравнивая этот результат с равенством (10.9), получаем .

Аналогично найдём, что и т. д. Тогда по формулам (10.10)

и т. д. (9.11)

Кроме того, по тем же формулам

и т. д., (9.12)

откуда

. (9.13)

Следовательно, отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки тела, и по модулю пропорциональны этим отрезкам. Фигуры, обозначенные на плане скоростей и в сечении (S) тела одинаковыми буквами, будут при этом подобны и повёрнуты одна относительно другой на 90° (свойство плана скоростей).

Соотношения (9.12) и (9.13) позволяют построить план скоростей и определить скорость любой точки тела, если известны модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки этого тела.

Угловая скорость тела, если известен план скоростей, находится по формуле (9.13). План скоростей механизма строится как совокупность планов скоростей отдельных его звеньев (тел), причём векторы скоростей откладываются от общего центра (полюса) р.

9.7. Определение ускорений точек тела

Положение точки М по отношению к осям Oxy (см. рис. 9.5) определяется радиус-вектором , тогда

.

В полученном равенстве величина равна ускорению полюса А, а величина определяет ускорение, получаемое точкой М при её вращении вместе с телом вокруг полюса А.

Следовательно,

. (9.14)

При этом ускорение точки М во вращательном движении вокруг полюса А с учётом формул (8.11) и (8.12), а также угол μ (рис. 9.13) его отклонения от отрезка МА определяются по формулам:

. (9.15)

Т аким образом, ускорение любой точки М тела геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения точки М в её вращении вместе с телом вокруг полюса.

Модуль и направление ускорения находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 9.13). Однако вычисление величины с помощью параллелограмма несколько усложняет расчёт, так как предварительно надо вычислять угол μ, а затем угол между векторами и . Поэтому при решении задач вектор удобнее заменять его тангенциальной (касательной) и нормальной составляющими (рис. 9.14), где

. (9.16)

Вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор всегда направлен от точки М к полюсу А.

Тогда вместо равенства (9.14) получим

. (9.17)

Формулами (9.16) и (9.17) пользуются при решении задач, для чего вычисляют векторы, стоящие в правой части равенства, а затем определяют их геометрическую сумму или производят соответствующие графические построения.

Таким образом, плоскопараллельное движение твёрдого тела слагается из поступательного движения, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками этого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, и угловая скорость, и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.

Скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в её вращении вместе с телом вокруг этого полюса. Скорость любой точки можно определять, используя мгновенный центр вращения: скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей. Скорости точек тела можно определять графически, построением планов скоростей.

Ускорение любой точки М тела геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения точки М в её вращении вместе с телом вокруг полюса.

Задачи для самостоятельного решения

З адача № 9.1. (Рис. 9.15). Стержень АВ движется согласно уравнениям x_A = 2 +t², y_A = 0, φ = 0,25πt. Определить абсциссу x_В точки В в момент времени t₁ = 1 с, длина AB = 3 м.

(Ответ: x_В = 0,879 м).

Задача № 9.2. (Рис. 9.16). Центр колеса, катящегося по прямолинейному участку пути, движется согласно уравнениям x_C = 0,3t², y_C = 0,15м. Определить в момент времени t₁ = 1 с ординату x_В точки В, если в начале движения прямая АВ совпадала с осью Оу. (Ответ: x_В = 0,212 м).

Задача № 9.3. Твердое тело совершает плоскопараллельное движение согласно уравнениям x_A = 2t², y_A = 0,2м, φ = 10t². Определить угловую скорость ω тела в момент времени t = 1 с. (Ответ: ω = 20 с^-1).

З адача № 9.4. (Рис. 9.17). В данный момент времени тело совершает мгновенное вращение относительно точки А касания его с плоскостью. Определить угловую скорость ω тела, если скорость точки С равна 10 м/с, а расстояние

АС = 20 см. (Ответ: ω = 50 с^-1).

Задача № 9.5. Тело совершает плоскопараллельное движение согласно уравнениям x_A = 2sin t,

y_A = 2 cos 4 t, φ = 4t². Определить угловое ускорение тела. (Ответ: ε = 8 с^-2)

Задача № 9.5. (Рис. 9.18). Колесо катится согласно уравнениям x_C = 2t²,

y_C = 0,5м. Определить угловое ускорение ε колеса. (Ответ: ε = 8 с^-2).

Задача № 9.6. Диск радиуса R = 50 см катится по плоскости. Определить расстояние l от геометрического центра диска до мгновенного центра скоростей.

( Ответ: l = 0,5 м).

Задача № 9.7. (Рис. 9.19). Для данного положения механизма определить скорость v_c точки С – середины шатуна АВ, если угловая скорость ω = 1 рад/с; длины звеньев OA = 0,3 м; АВ = 0,5 м. (Ответ: v_c = 0,3 м/с).

З адача № 9.8. (Рис. 9.19). Определить ускорение а_В ползуна В кривошипно-ползунного механизма в данном положении, если угловая скорость кривошипа ω = 1 рад/с = const; длины звеньев OA = 0,3 м; АВ = 0,5 м.

(Ответ: а_В = 0,225 м/с²).

Задача № 9.9. (Рис. 9.20). В данном положении механизма точка P является мгновенным центром скоростей звена АВ. Определить расстояние BP, если скорости точек А и В равны соответственно υ_A = 10 м/с,

υ_B = 15 м/с, а расстояние АР = 60 см.

(Ответ: ВР = 0,9 м)

Задача № 9.10. Центр катящегося по плоскости колеса радиуса 0,5 м движется согласно уравнению s = 2t. Определить ускорение а точки соприкосновения колеса с плоскостью. (Ответ: а = 8 м/с²).

Вопросы для самопроверки

1. Какое движение называется плоскопараллельным? Уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела.

2. Из каких движений состоит плоскопараллельное движение? Основные их кинематические характеристики.

3. Определение траекторий точек тела при плоскопараллельном движении.

4. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении.

5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

6. Мгновенный центр скоростей. Определение его положения.

7. Определение скоростей точек тела с помощью мгновенного центра скоростей.

8. План скоростей и его свойство.

9. Из каких ускорений состоит полное ускорение точки тела?

ДИНАМИКА