7.4. Ускорение точки
Характеристикой
быстроты изменения скорости по величине
и направлению является вектор ускорения
.
Определение его зависит от способа
задания движения.
7.4.1. Естественный способ задания движения
Изменение
скорости по модулю
характеризуется тангенциальным
(касательным)
ускорением
(рис. 7.3),
который определяется второй производной
расстояния по времени:
.
(7.11)
Если
и
или
и
,
то движение ускоренное и вектор
направлен в сторону вектора скорости.
Если
и
или
и
,
то движение замедленное и вектор
направлен в сторону, противоположную
вектору скорости.
Изменение
скорости по направлению
характеризуется нормальным
ускорением
(рис. 7.3).
Модуль нормального ускорения равен
отношению квадрата модуля скорости к
радиусу кривизны в данной точке траектории
.
(7.12)
Нормальное ускорение всегда положительно и направлено к центру кривизны.
Вектор ускорения определяется векторной суммой двух взаимно перпендикулярных векторов и т. е.
,
(7.13)
а модуль
.
(7.14)
Угол между вектором ускорения и нормалью определяется по формуле
.
(7.15)
Размерность ускорения – м/с2.
Частные случаи.
1.
Если точка движется прямолинейно
и равномерно,
то
.
2.
Если точка движется прямолинейно
и неравномерно,
то
и, следовательно,
.
3.
Если точка движется равномерно
по криволинейной
траектории
,
то
и
.
4.
Если же точка совершает равнопеременное
криволинейное
движение
(
),
то
.
(7.16)
Формулы (7.16) известны из курса физики школьной программы.
7.4.2. Координатный способ задания движения
Проекции вектора ускорения на координатные оси находятся как первые производные по времени от соответствующих проекций скоростей или как вторые производные от координат движущейся точки, т. е.
.
(7.17)
Модуль и направления вектора ускорения определяются из соотношений:
.
(7.18)
Для плоского движения определяют две составляющие: ax и ay.
Определены понятия: кинематика, движение, система отсчёта, тело отсчёта, момент времени, траектория движения.
Рассмотрены задания криволинейного движения точки естественным и координатным способами, а также переход от координатного способа задания движения к естественному. Даны определения таких кинематических параметров, как линейные скорость и ускорение точки тела и угловые скорость и ускорение тела, ускорения тангенциальное (касательное) и нормальное; их определение при различных способах задания движения, естественные оси координат.
Задачи для самостоятельного решения
Задача № 7.1. Заданы уравнения движения точки х = 1 + 2 sin 0,1t, y = 3t. Определить координату х точки в момент времени, когда её координата у = 12м.
(
Ответ:
y
=
1,78 м).
Задача № 7.2. Заданы уравнения движения точки х = 3t, y = t2. Определить расстояние точки от начала координат в момент времени t = 2 с. (Ответ: s = 7,21 м).
Задача
№ 7.3. (Рис.
7.4).
Положение
кривошипа определяется углом (рад)
φ
=
0,2t.
Найти
координату
ползуна в момент времени t
= 3
с,
если длины звеньев ОА
= АВ =
0,5
м.
(Ответ:
).
Задача
№ 7.4. (Рис.
7.4).
Положение
кривошипа определяется углом φ
=
6,5t
Определить
скорость
ползуна В
в
момент времени t
= 4 с,
если OA
= АВ =
1,5
м. (Ответ:
=
- 1,36 м/с).
Задача
№ 7.5.
(Рис.7.4).
Определить
ускорение
точки В
в
момент времени, когда угол φ=
60°,
если длина OA
= АВ =
20 см,
а закон изменения угла
φ
=
3t.
(Ответ:
=
- 1,8 м/с2).
Задача № 7.6. Скорость автомобиля равномерно увеличивается в течение 12 с от нуля до 60 км/ч. Определить ускорение автомобиля. (Ответ: = 1,39 м/с2).
Задача № 7.7. Точка движется по прямой с ускорением а = 0,5 м/с2. Определить, за какое время будет пройдено расстояние 9 м, если при t0 = 0 скорость υ0 = 0. (Ответ: t = 6 c).
Задача № 7.8. Даны проекции скорости на координатные оси υх=3 t; υу = 0,2 t2; υz = t3. Определить модуль ускорения в момент времени t =1с. (Ответ: v = - 5,83 м/с).
Задача № 7.9. Точка движется по кривой со скоростью v = 0,5 t. Определить её координату s в момент времени t = 10 с, если при t0 = 0 координата точки x0 = 0. (Ответ: s = 25).
Задача № 7.10. Проекции ускорения точки во время движения определяются выражениями ах = 0,8 t м/с2, ау = 0, 8 м/с2. Найти касательное ускорение в момент времени t = 2 с, если при t0 = 0 скорость точки υ0 = 0. (Ответ: at = 1,70 м/с2).
Вопросы для самопроверки
1. Что понимают под движением и траекторией точки? Система отсчёта, тело отсчёта.
2. Способы задания криволинейного движения точки. Что должно быть указано при естественном задании движения точки?
3. В виде каких уравнений задаётся закон движения точки при координатном способе?
4. Каким образом осуществляется переход от координатного способа задания движения к естественному?
5. Что такое скорость движения точки? Скорость при естественном способе задания движения точки. Кривизна, радиус кривизны. Естественные оси координат.
6. Скорость точки при координатном способе задания движения.
7. Что такое ускорение движения точки? Ускорения точки при естественном способе задания движения.
8. Ускорения точки при координатном способе задания движения.