11.4. Работа силы. Мощность

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы. При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки. Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds.

Э лементарной работой силы (рис. 11.1) называется скалярная величина

, (11.7)

где − проекция силы на касательную t к траектории, направленную в сторону перемещения точки;

ds – бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Учитывая, что , получим

. (11.8)

Таким образом, элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол α острый, то работа положительна. В частности, при α = 0 элементарная работа .

Если угол α тупой, то работа отрицательна. В частности, при α = 180° элементарная работа .

Если угол α = 90°, т. е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда касательная составляющая силы направлена в сторону движения, т. е. когда сила ускоряет движение; работа отрицательна, когда касательная составляющая направлена противоположно движению, т. е. когда сила замедляет движение.

При вращательном движении элементарная работа момента М силы относительно центра вращения

, (11.9)

т. е. элементарная работа момента силы при вращательном движении равна произведению момента этой силы относительно центра вращения на угол поворота плоской фигуры.

Единицей измерения работы в системе СИ является Джоуль (1 Дж = 1 Нм).

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

, (11.10)

где t – время, в течении которого произведена работа А.

В общем случае

, (11.11)

т. е. мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость движения.

При вращательном движении мощность

, (11.12)

т. е. мощность равна произведению момента силы на угловую скорость движения.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт (1 Вт = 1 Дж/с).

Работу, произведённую машиной, можно измерять произведением её мощности на время работы. Отсюда возникла применяемая в технике единица измерения работы киловатт-час.

Из равенства (11.11) видно, что у двигателя, имеющего мощность Р, сила тяги будет тем больше, чем меньше скорость v. Поэтому, например, на подъёме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать бóльшую тяговую силу тяги F.

11.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Рассмотрим точку с массой m, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения М₀, где она имела скорость в положении М₁, где её скорость равна .

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению , выражающему основной закон динамики. Проецируя обе части этого равенства на касательную Мt (рис. 11.1) к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим

.

Стоящую слева величину касательного ускорения можно представить в виде:

.

В результате имеем:

.

Умножим обе части этого равенства на ds и внесём m под знак дифференциала:

.

Тогда, учитывая, что , (где − элементарная работа силы ), получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме:

.

Проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках М₀ и М₁, найдём окончательно:

. (11.13)

Уравнение (11.13) выражает теорему об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки при некотором её перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Для решения многих задач динамики вместо метода интегрирования дифференциальных уравнений часто используют общие теоремы механики, являющиеся следствиями основного закона динамики. При этом используют понятия «количество движения точки», «кинетическая энергия точки», «импульс силы», «работа силы» и «мощность». К указанным теоремам относятся: теорема об изменении количества движения точки и теорема об изменении кинетической энергии точки.

Задачи для самостоятельного решения

З адача 11.1. Постоянная по модулю и направлению сила действует на тело в течение 10 с. Найти модуль импульса S этой силы за это время, если проекции силы на оси координат: F_x = 3 Н, F_y = 4 Н.

(Ответ: S = 50 кг·м/с).

Задача 11.2 (Рис. 11.2). Материальная точка массой m = 1 кг движется по закону s=2 + 0,5е^2t. Определить модуль количества движения mv точки в момент времени t = 1 с. (Ответ: mv = 7,39 кг·м/с).

Задача 11.3. (Рис. 11.3). Диск радиуса R = 0,4 м вращается с угловой скоростью ω = 25 рад/с. По ободу диска движется точка М согласно закону s = 1 + 2t². Определить модуль количества движения mv этой точки в момент времени t = 2 с, если ее масса m = 1 кг. (Ответ: mv = 18 кг·м/с).

З адача 11.4. Материальная точка массой 2 кг движется в плоскости Оху согласно уравнениям х = sin π t, у = 0,5 t². Определить модуль количества движения mv точки в момент времени t = 1,5 с.

(Ответ: mv = 3 кг·м/с).

Задача 11.5. (Рис. 11.4). На тело действует постоянная по направлению сила . Определить работу А этой силы при перемещении тела из положения с координатой x = 0 в положение с координатой x = 1 м. (Ответ: А = 0,866 Дж).

Задача 11.6. (Рис. 11.6). На поршень гидроцилиндра действует давление масла р = 10 Н/мм². Диаметр поршня D = 100 мм, его скорость v = 0,2 м/с. Определить в кВт мощность Р силы давления масла. (Ответ: Р = 15,7 кВт).

Задача 11.7. На вал двигателя действует крутящий момент М = 80(1 − ω/400). Определить в кВт мощность Р двигателя в момент, когда двигатель имеет угловую скорость, равную 200 рад/с. (Ответ: Р = 8 кВт).

Задача 11.8. Материальная точка массой m = 1 кг движется по окружности со скоростью v = 1 м/с. Определить кинетическую энергию Т этой точки. (Ответ: Т = 0,5 Дж).

З адача 11.9. Прямолинейное движение материальной точки массой m = 4 кг задано уравнением s = 4t + 2t². Определить кинетическую энергию Т этой точки в момент времени t = 2 c. (Ответ: Т = 288 Дж).

Задача 11.10. (Рис. 11.7). Однородный диск массой m =30 кг радиуса R = 1 м начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно с постоянным угловым ускорением ε = 2 рад/с². Определить кинетическую энергию Т диска в момент времени t = 2 с после начала движения. (Ответ: Т = 120 Дж).

Задача 11.11. (Рис. 11.8). К ротору, момент инерции которого относительно оси вращения равен 3 кг/м², приложен постоянный момент пары М = 9 Н·м. Определить угловое ускорение ε. (Ответ: ε = 3 с^-2).

Задача 11.12. (Рис. 11.9). Диск вращается вокруг центральной оси с угловым ускорением ε = 4 рад/с² под действием пары сил с моментом М₁ и момента сил сопротивления М₂ = 6 Н·м. Определить модуль момента М₁ пары сил, если момент инерции диска относительно оси вращения равен 6 кг·м². (Ответ: М₁ = 30 Нм).

З адача 11.13. (Рис. 11.10). Материальная точка М массой m, подвешенная на нити длиной ОМ = 0,4 м к неподвижной точке О, отведена на угол α = 90^° от положения равновесия и отпущена без начальной скорости. Определить скорость v этой точки во время прохождения через положение равновесия. (Ответ: v = 2,8 м/с).

Задача 11.14. Свободное падение материальной точки массой m начинается из состояния покоя. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить путь s, пройденный точкой к моменту времени, когда она имеет скорость 3 м/с. (Ответ: s = 0.459 м).

Вопросы для самопроверки

1. Как определяются количество движения и кинетическая энергия точки? Их размерности.

2. Что называют импульсом силы?

3. Теорема об изменении количества движения точки. Векторное и скалярные уравнения, выражающие эту теорему.

4. Работа и мощность при поступательном и вращательном движениях. Размерности работы и мощности.

5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.