![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
4.3. Задача оптимального финансирования проекта
Предположим,
что проект требует инвестиций
,
,
в концеn
периодов времени.
Инвестиции
………
Время 0 1 2 n-1 n
Для
финансирования проекта фирма в начальный
момент времени создает инвестиционный
фонд, размером
денежных единиц. Инвестиционный фонд
должен обеспечить выплату требуемых
денежных сумм
,
,
в моменты времени 1, 2, …,n.
(Причем вкладывает деньги в инвестиционный
фонд только в начальный момент времени.)
При этом фирма имеет возможность
вкладывать деньги из инвестиционного
фонда в m
видов финансовых инструментов (облигации,
банковские депозиты, ссуды и др.).
Момент
времени, когда деньги вкладываются в
финансовые инструменты вида i,
обозначим через
,
а момент времени, когда финансовые
инструменты видаi
обеспечивают доход, – через
.
(Причем будем считать, что
.)
Эффективную доходность финансовых
инструментов видаi
обозначим через
.
Уровень финансового риска, связанного
с вложением денег в инструменты видаi,
обозначим через
.
(Уровни риска
,
,
получены с помощью экспертных оценок.)
Задача
фирмы состоит в том, чтобы минимизировать
начальные вложения
в инвестиционный фонд. При этом в течение
каждого периода времени средневзвешенный
уровень риска, связанный с вложением
денег из инвестиционного фонда в
финансовые инструменты, не должен
превышать заданной величины
.
Построим
математическую модель этой задачи.
Количество денег, вкладываемых фирмой
в финансовые инструменты вида i,
обозначим через
.
Очевидно, что в начальный момент времени
вложения
в инвестиционный фонд вкладываются в
финансовые инструменты для которых
.
Следовательно,
. (23)
В
этой сумме ограничение
под знаком суммирования означает, что
суммирование производится только по
тем индексамi,
для которых
.
Для каждого момента времени
доход, выплачиваемый финансовыми
инструментами с
,
должен обеспечить во-первых выплату
требуемой суммы
,
и во-вторых, вложения в финансовые
инструменты с
.
(Напомним, что по предположению после
создания инвестиционного фонда фирма
не вкладывает в него дополнительные
средства.) Следовательно, должны
выполняться следующее неравенства:
,
.
Перенеся суммы
из правых частей этих неравенств в
левые, получим:
,
. (24)
Кроме
того, поскольку в течение каждого периода
времени средневзвешенный уровень риска,
связанный с вложением денег из
инвестиционного фонда в финансовые
инструменты, не должен превышать заданной
величины
,
должны иметь место следующие ограничения:
,
.
(25)
Здесь
через
обозначен вес вложений в финансовые
инструменты видаi
в k-м
периоде. Причем будем считать, что
определяется следующим образом:
. (26)
Приведем ограничение (25) к линейному виду. Подставив (26) в (25) после несложных алгебраических преобразований, получим:
,
. (27)
Итак,
математическая постановка задачи
оптимального финансирования проекта
– следующая: минимизировать целевую
функцию (23) при ограничениях (24), (27) и
условии неотрицательности переменных
,
,
т.е.
,
(28)
,
, (29)
,
, (30)
,
. (31)
Задача
(28)-(31) – задача линейного программирования
и легко решается на ПЭВМ. Для того, чтобы
было удобнее вводить в ПЭВМ целевую
функцию (28) и условия (29)-(30), можно следующим
образом определить коэффициенты
и
:
для
,
, (32)
для
,
. (33)
С
использованием коэффициентов
и
задача (28)-(31) перепишется следующим
образом:
, (34)
,
, (35)
,
,
(36)
,
. (37)
Пример 9. Промышленная организация заключила контракт со строительной компанией о строительстве нового цеха. В условиях контракта сказано, что промышленная организация должна выплатить строительной организации 60 д.е. в конце первого квартала и 100 д.е. в конце второго квартала. Для финансирования этого проекта промышленная организация создает фонд. (Причем промышленная организация вкладывает деньги в инвестиционный фонд только в начале первого квартала.) При этом существует возможность вкладывать деньги в бескупонные облигации сроком на один квартал в начале первого квартала и в начале второго квартала. Эффективная доходность таких вложений составляет 3%, а уровень риска – 1. Также можно вкладывать деньги в бескупонные облигации в начале первого квартала сроком на пол года. Эффективная доходность таких вложений – 10%, уровень риска – 3. Требуется минимизировать начальные вложения в инвестиционный фонд. При этом средневзвешенный уровень риска в течение каждого из двух кварталов не должен превышать 2.
Решение.
Примем в качестве единицы измерения
времени один квартал. Тогда
д.е.,
д.е.
Будем считать, что облигации, в которые
деньги вкладываются в начале первого
квартала сроком на один квартал – это
финансовые инструменты первого вида;
облигации, в которые деньги вкладываются
в начале первого квартала сроком на пол
года – это финансовые инструменты
второго вида; облигации, в которые деньги
вкладываются в начале второго квартала
сроком на один квартал – это финансовые
инструменты третьего вида. Тогда
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Поскольку
в начале первого квартала деньги
вкладываются в финансовые инструменты
первого и второго видов,
.
В конце первого квартала только финансовые
инструменты первого вида приносят
доход. Этот доход должен обеспечить,
во-первых, выплату суммы
и, во-вторых, вложения в финансовые
инструменты третьего вида. Следовательно,
должно выполняться неравенство
.
В конце второго квартала финансовые
инструменты второго и третьего видов
приносят доход, который должен обеспечить
выплату суммы
.
Следовательно,
.
Поскольку в течение первого квартала
деньги вложены в финансовые инструменты
первого и второго видов, для первого
квартала средневзвешенный риск равен
.
Так как он не должен превышать заданного
уровня
,
то выполняется неравенство:
.
Это ограничение легко привести к
линейному виду:
.
Так как в течение второго квартала
деньги вложены в финансовые инструменты
второго и третьего видов, ограничение,
связанное с риском, для второго квартала
имеет вид:
,
или
.
Таким образом, математическая модель задачи из примера 9 – следующая:
, (38)
, (39)
, (40)
, (41)
, (42)
. (43)
Подставив в (39)-(42) известные значения параметров, получим:
, (44)
, (45)
, (46)
, (47)
, (48)
. (49)
Решив
эту задачу симплекс-методом, получим:
д.е.,
д.е.,
д.е.,
.