![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
При оценке свободных денежных потоков инвестиционного проекта с достаточно большим (неограниченным) сроком удобно считать, что начиная с некоторого периода времени процентный рост свободных денежных потоков становится постоянным. Предположим, что при некотором n
для
всех
, (6)
где коэффициент g не зависит от k. Коэффициент g показывает относительное (процентное) изменение свободных денежных потоков. Будем называть его коэффициентом роста свободных денежных потоков.
Из
(6) следует, что
,
и т.д. По индукции получаем:
,
(7)
Заметим, что рыночная стоимость проекта в начале (n+1)-го периода равна сумме дисконтированных свободных денежных потоков начиная с (n+1)-го периода:
. (8)
Подставив
правую часть (7) в (8), получим:.
В случае, когда
,
последнее выражение с помощью формулы
для суммы бесконечной геометрической
прогрессии несложно привести к следующему
виду:
. (9)
В
случае, когда
,
(что не реально). В дальнейшем будем
считать, что
.
Пример 7. Пусть начальные инвестиции в проект составляют 500 д.е. Предположим, что с достаточной точностью можно оценить свободные денежные потоки проекта лишь на три года вперед. Ожидаемые свободные денежные потоки за первый, второй и третий годы равны, соответственно, 20 д.е., 50 д.е. и 80 д.е. Начиная с четвертого года свободные денежные потоки растут на 5% в год. Внутренняя доходность альтернативных проектов равна 18%. Требуется найти текущую и чистую текущую стоимости инвестиционного проекта.
Решение.
Итак,
д.е.,
д.е.,
д.е.,
д.е.,
,
.
Сперва найдем рыночную стоимость проекта в начале третьего года по формуле (9):
д.е.
Теперь мы можем найти текущую стоимость
проекта по формуле (5):
д.е. Найдем чистую текущую стоимость
проекта:
д.е.
Опишем методику нахождения коэффициента роста свободных денежных потоков.
Отношение
показывает процент прибыли, выплачиваемый
владельцам проекта вk-м
периоде. Назовем это отношение
коэффициентом выплаты в k-м
периоде и обозначим его
.
Итак,
. (10)
Пусть
– собственный капитал проекта в началеk-го
периода. Отношение
показывает сколько процентов составляет
прибыль вk-м
периоде от собственного капитала проекта
в начале k-го
периода. Назовем это отношение
коэффициентом прибыли в k-м
периоде и обозначим его
.
Итак,
. (11)
Заметим,
что
. С учетом определений (10) и (11) это
соотношение можно записать в следующем
виде:
. (12)
Будем считать, что собственный капитал проекта в конце k-го периода равен сумме собственного капитала проекта в начале k-го периода и инвестиций в k-м периоде, т.е.
. (13)
Отношение
показывает какой процент прибыли вk-м
периоде реинвестируется в проект.
Назовем это отношение коэффициентом
реинвестирования в k-м
периоде и обозначим его
.
Итак,
. (14)
Заметим, что из (1) следует следующая взаимосвязь между коэффициентами выплаты и реинвестирования:
. (15)
Из определений (11) и (14) следует, что
. (16)
Подставив выражение (16) в равенство (13) получим:
. (17)
Поскольку равенство (17) справедливо при любом k, взяв k-1 вместо k, получим:
. (18)
Подставив (18) в (12), будем иметь:
. (19)
Поскольку равенство (12) справедливо при любом k, взяв k-1 вместо k, получим:
. (20)
Предположим,
что коэффициенты прибыли, выплаты и
реинвестирования одинаковы в k-м
и (k-1)-м
периодах:
,
,
.
Тогда, в силу (20), выражение, стоящее в
квадратных скобках в правой части
равенства (19), равно
,
и следовательно, равенство (19) можно
будет записать в следующем виде:
.
(21)
Из
(21) следует, что произведение
показывает на сколько процентов свободный
денежный поток вk-м
периоде больше свободного денежного
потока в (k-1)-м
периоде, т.е. произведение
– это коэффициент роста денежных потоковg.
Итак,
. (22)
Предположим,
что коэффициенты прибыли, выплаты и
реинвестирования становятся постоянными
начиная с (n+1)-го
периода, т.е.
,
,
при
.
Тогда справедливо равенство (6) для всех
,
причем коэффициент ростаg
определяется по формуле (22). Следовательно,
в этом случае для рыночной стоимости
проекта в начале (n+1)-го
года справедлива формула (9).
Пример 8. Начальные инвестиции в проект составляют 1000 д.е. Ожидается, что прибыль за первый год составит 5% от начальных инвестиций, и 90% прибыли за первый год будет реинвестировано в проект; прибыль за второй год составит 10% от собственного капитала в начале второго года, и 60% прибыли за второй год будет реинвестировано в проект; начиная с третьего года прибыль будет составлять 18% от собственного капитала в начале года, и 20% прибыли будет реинвестироваться в проект. Внутренняя доходность альтернативных проектов с таким же риском как у данного проекта равна 16%. Требуется найти текущую и чистую текущую стоимости проекта.
Решение.
Итак,
д.е.,
,
,
,
,
,
,
,
.
Заметим, что в условиях данного примера
при
,
где
.
Следовательно, рыночная стоимость
проекта
в
начале третьего года может быть найдена
по формуле (9):
.
Зная
,
можно будет найти текущую стоимость
проекта по формуле (5):
.
Посколькуr
и g
известны, для того чтобы найти
иPV,
нужно определить свободные денежные
потоки
,
и
за первый, второй и третий годы
соответственно. Итак, найдем
,
и
.
Вначале
найдем прибыль за первый год:
д.е.
Затем найдем инвестиции за первый год:
д.е.
Теперь можно найти свободный денежный
поток за первый год:
д.е.
Для
того, чтобы найти прибыль во втором
году, нужно сперва определить собственный
капитал в начале второго года:
д.е.
Далее действуем таким же образом как
при нахождении свободного денежного
потока за первый год:
д.е.,
д.е.,
д.е.
Найдем
свободный денежный поток за третий год:
д.е.,
д.е.,
д.е.,
д.е.
Теперь
можно найти рыночную стоимость проекта
в начале третьего года:
д.е. Найдем текущую стоимость проекта:
д.е.
И,
наконец, найдем чистую текущую стоимость
проекта:
д.е.