- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
Баланс фирмы состоит из активов и пассивов. Пассивы, в свою очередь, делятся на обязательства и собственный капитал. Обозначим активы, обязательства и собственный капитал через,и, соответственно.
Поскольку активы равны пассивам, то . Отсюда имеем:
. (14)
Существуют два основных метода оценки активов и обязательств:
метод, основанный на исторической стоимости (book value), т.е. стоимости, по которой активы и обязательства были приобретены;
метод, основанный на рыночной стоимости (market value), т.е. рыночной стоимости активов и обязательств в текущий момент времени.
Мы будем использовать второй метод. Таким образом, будем считать, что – рыночная стоимость активов,– рыночная стоимость обязательств,– рыночная стоимость собственного капитала.
Будем считать, что активы и обязательства финансовой организации состоят из облигаций. (Под облигациями будем понимать любые финансовые инструменты с фиксированными платежами.) Таким образом, активы и обязательства представляют собой портфели облигаций.
Предположим, что не зависит от вида облигаций, входящих в активы и обязательства. Тогда как для активов, так и для обязательств справедлива формула (12). Следовательно,
, (15)
, (16)
где – продолжительность активов,– продолжительность облигаций.
Из формул (15), (16) следует, что
, (17)
. (18)
Из формулы (14) следует, что
. (19)
Подставим (17) и (18) в (19):
. (20)
Обозначим через отношение обязательств к активам:
. (21)
Коэффициент – это так называемый финансовый рычаг.
С учетом (21) формула (20) примет вид:
. (22)
Из формулы (22) следует, что финансовая организация будет защищена от процентного риска, если . Поскольку этого чаще всего невозможно достичь, для защиты от процентного риска используют финансовые производные (опционы и фьючерсы).
Пример 3. Номинальная стоимость и купонный период облигаций, входящих в активы и обязательства финансовой организации, равны, соответственно, 100 д.е. и один год Активы финансовой организации состоят из 400 десятилетних и 600 пятилетних облигаций. Номинальная купонная ставка и эффективная годовая доходность равны, соответственно, 20% и 18% для десятилетних облигаций, и 15% и 14% для пятилетних облигаций. Обязательства финансовой организации состоят из 300 однолетних и 500 трехлетних облигаций. Номинальная купонная ставка и эффективная годовая доходность равны, соответственно, 10% и 11% для однолетних облигаций, и 12% и 13% для трехлетних облигаций. Требуется:
Найти рыночную стоимость активов, обязательств и собственного капитала финансовой организации;
Найти финансовый рычаг;
Найти продолжительность активов и обязательств;
Оценить изменение рыночной стоимости собственного капитала при .
Решение.
Вначале найдем цены облигаций:
; ;
; .
Найдем рыночную стоимость активов, обязательств и собственного капитала:
; ;;
; ;;
.
Найдем финансовый рычаг: .
Найдем продолжительность активов и обязательств:
лет; лет;
, ;
лет;
год; лет;
, ;
лет.
Оценим изменение рыночной стоимости собственного капитала при с помощью формулы (22):
д.е.
Если мы учтем выпуклость активов и обязательств, с помощью формулы (13) получим:
. (23)
Формула (23) доказывается аналогично формуле (22).